矢量运算
给定几个矢量, 则有如下的一些矢量的积运算
数量积
$$
\vec{a} \cdot \vec{c} = \left | \vec{a} \right | \left | \vec{c} \right | \cos \theta
$$
矢量积
$$
\left | \vec{a} \times \vec{c} \right | = \left | \vec{a} \right | \left | \vec{c} \right | \sin \theta
$$
矢量积的方向垂直于矢量$\vec{a}$和$\vec{c}$所在的平面, 且符合右手定则. 对应的坐标表示为
$$
\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
a_x&a_y&a_z\\
c_x&c_y&c_z
\end{vmatrix}
$$
基于矢量积的定义, 容易知道其不满足交换律, 交换两个矢量将产生一个负号. 这一特性也被称为反对称性.
数量积与矢量积有一些对称性, 例如数量积为零则两个矢量垂直, 矢量积为零则两个矢量平行.
标量三重积
对于三个矢量, 有如下的标量三重积定义:
$$
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix}
a_x&a_y&a_z\\
b_x&b_y&b_z\\
c_x&c_y&c_z
\end{vmatrix}
$$
因为先进行矢量积, 再进行数量积, 因此结果显然是一个数字.
标量三重积具有轮换不变性, 即
$$
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} =(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}
$$
从代数角度看, 标量三重积对应一个行列式的值. 交换两次行列式的行将产生两次负号, 从而结果不变. 从几何角度看, 标量三重积等于三个矢量$\vec{a}$, $\vec{b}$和$\vec{c}$构成的平行六面体的体积. 这三个标量三重积都对应于同一个平行六面体, 因此显然相等.
基于以上轮换不变性和点乘的交换律, 可以推到出点乘和叉乘的交换性, 即
$$
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})
$$
矢量三重积
对于三个矢量, 有如下的矢量三重积定义:
$$
\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) =\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \cdot \vec{b})
$$
注意, 结合叉乘的性质, 容易得到
$$
(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = - \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) =- \vec{a}(\vec{c} \cdot \vec{b}) + \vec{b} (\vec{c} \cdot \vec{a})
$$
显然, 这是两个完全不同的矢量, 因此叉乘并不具备结合律
更高次矢量积
更高次矢量积可以通过上述的公式进行简化, 例如
$$
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d})) = \vec{a} \cdot (\vec{c}(\vec{b} \cdot \vec{d}) - \vec{d}(\vec{b} \cdot \vec{c})) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d})(\vec{b} \cdot \vec{c})
$$
多元函数微分
全微分
如果多元函数$f(x,y)$可微, 则其全微分可表示为
$$
df=\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}y
$$
多元函数的全微分等于其各参数的偏微分之和也被称为叠加原理.
链式法则
如果函数$u=\varphi(t)$以及$v=\psi(t)$在t处可导, 函数$z=f(u,v)$在对应点(u, v)具有连续的偏导数, 则复合函数$z=f(\varphi(t), \psi(t))$在t处可导, 且有
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}
$$
一元矢量值函数
一元矢量值函数是输入为一元变量, 输出为矢量的函数, 可表示为
$$
\vec{f}(t) = f_1(t)\vec{i} + f_2(t)\vec{j} + f_3(t)\vec{k}
$$
由于一元矢量值函数的极限和导数定义与结论与普通的一元函数一致, 因此也具有如下的一些性质:
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\varphi(t) \vec{u}(t)]=\varphi^{\prime}(t) \vec{u}(t)+\varphi(t) \vec{u}^{\prime}(t)
$$
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\vec{u}(t) \cdot \vec{v}(t)]=\vec{u}^{\prime}(t) \cdot \vec{v}(t)+\vec{u}(t) \cdot \vec{v}^{\prime}(t)
$$
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\vec{u}(t) \times \vec{v}(t)]=\vec{u}^{\prime}(t) \times \vec{v}(t)+\vec{u}(t) \times \vec{v}^{\prime}(t)
$$
矢量微分
在高等数学中, 我们已经学过常规的函数的微积分操作, 并简单了解了一元矢量值函数的一些性质. 在物理学中, 研究的许多对象都是矢量(例如速度, 加速度等), 因此需要更进一步探讨一些关于矢量的微分处理.
矢量微分的核心思路是将矢量通过坐标系转换为普通的数值函数, 通过对数字函数进行微分得到对应的结果, 再将其反向转换为矢量.
最常用的坐标系是笛卡尔坐标系, 也就是数学中常用的三个坐标轴相互垂直且满足右手系的直角坐标系.
此时, 对于空间中的任意一个矢量, 可以将其进行如下的分解
$$\vec{A} = A_x \vec{i} +A_y \vec{j} + A_z \vec{k} $$
其中任意一个分量等于A在对应轴上的投影, 例如
$$ A_x = \vec{A} \cdot \vec{i} $$
笛卡尔坐标系下的微分
因此在笛卡尔坐标系下, 如果定义位移矢量为
$$ \vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} $$
则可获得速度与加速度的表达式为
$$ \vec{v} = \dot{\vec{r}} = \dot{x}\vec{i} + \dot{y}\vec{j} + \dot{z}\vec{k} $$
$$ \vec{a} = \dot{\vec{v}} = \ddot{x}\vec{i} + \ddot{y}\vec{j} + \ddot{z}\vec{k}$$
注意: 由于直角坐标的单位矢量是绝对不变的, 因此对齐进行求导处理是容易的. 对于其他类型的坐标系(例如极坐标, 球坐标, 柱坐标), 在难以确定如何求解微分时, 总是可以先转换为直角坐标, 再进行处理
平面极坐标系下的微分
对于平面极坐标系, 其定义了两个单位矢量, 即径向$\vec{e_r}$(与位置矢量同向)与横向$\vec{e_\theta}$(垂直于位置矢量且指向极角增大的方向).
基于三角函数的知识, 可以容易得到如下的极坐标与直角坐标对应关系
$$
\begin{array}{l}
\vec{e_r} = \cos{\theta}\vec{i} + \sin{\theta}\vec{j} \
\vec{e_\theta} = -\sin{\theta}\vec{i} + \cos{\theta}\vec{j}
\end{array}
$$
此时可以对其进行微分运算, 得到如下的结果
$$
\frac{\mathrm{d}\vec{e_r}}{\mathrm{d}\theta} = -\sin{\theta}\vec{i} + \cos{\theta}\vec{j} = \vec{e_\theta}
$$
$$
\frac{\mathrm{d}\vec{e_\theta}}{\mathrm{d}\theta} = -\cos{\theta}\vec{i} - \sin{\theta}\vec{j} = -\vec{e_r}
$$
基于求导的链式法则, 可以获得两个基矢量对于时间的导数
$$
\frac{\mathrm{d}\vec{e_r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{e_r}}{\mathrm{d}\theta} \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}\vec{e_\theta}
$$
$$
\frac{\mathrm{d}\vec{e_\theta}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{e_\theta}}{\mathrm{d}\theta} \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = -\dot{\theta}\vec{e_r}
$$
基于上述结论, 假定$\vec{r}=r\vec{e_r}$ 则其速度矢量为:
$$
\begin{align}
\vec{v} &= \dot{\vec{r}} = \dot{r}\vec{e_r} + r \dot{\vec{e_r}} \
&= \dot{r}\vec{e_r} + r\dot{\theta}\vec{e_\theta} \
\end{align}
$$
如果$\vec{r}$为匀速圆周运动, 则$\dot{r}=0$, $\dot{\theta}=\omega$, 则有
$$\vec{v} = \omega r \vec{e_\theta}$$
再次对其求时间的导数, 可得加速度为
$$\vec{a} = \omega r \cdot (-w\vec{e_r}) = -w^2r\vec{e_r}$$
其结果符合高中阶段对于匀速圆周运动的认识.
对一般情况下$\vec{r}$对时间的二次导数的求解过程作为习题留给同学们练习.
$\nabla$算子
梯度
对于一个给定的多元函数$f(x,y)$, 有时候想知道其在特定方向上的变化率, 则可以定义其方向导数如下:
$$
\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t\cos \alpha , y_0+t\sin\alpha) - f(x_0,y_0)}{t}
$$
由全微分的定义可知
$$
f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=f_x(x_0, y_0)\Delta x+f_y(x_0, y_0)\Delta y+ o (\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} )
$$
在当前情况下有$\Delta x = t \cos \alpha$, $\Delta y = t \sin \alpha$, 因此易得
$$
\frac{\partial f}{\partial l} = f_x(x_0, y_0)\cos \alpha+f_y(x_0, y_0)\sin \alpha
$$
显然, 当$\alpha$取不同方向时, 上述方向导数具有不同的大小, 而在所有的方向导数中, 存在一个角度可使得方向导数取得最大值. 将梯度定义为
$$
\nabla f = f_x(x_0, y_0)\vec{i} +f_y(x_0, y_0)\vec{j}
$$
则显然有梯度对应的方向可获得最大的方向导数, 即梯度指向函数增长最快的方向.
$\nabla$算子
基于以上关于梯度的例子, $\nabla$算子通常可定义为
$$
\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \vec{x} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y}
$$
$\nabla$算子是一个类似于矢量并同时具有微分性质的算符, 因此与向量类似, 可以与一个标量函数作用, 或者对一个矢量函数进行点乘或者叉乘运算.
散度
将$\nabla$算子与矢量函数的点乘定义为散度, 即
$$
\nabla \vec{v} = (\frac{\partial}{\partial x} \vec{x} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y}) \cdot (v_x \vec{x}, v_y \vec{y}, v_z \vec{z}) = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}
$$
散度衡量了向量场在某个位置的发散或聚集程度.
旋度
将$\nabla$算子与矢量函数的叉乘定义为散度, 即
$$
\nabla \times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
v_x & v_y & v_z
\end{array}\right|
$$
将上述行列式展开, 即
$$
\nabla \times \vec{v}=\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right) \vec{x}+\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right) \vec{y}+\left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right) \vec{z}
$$
旋度衡量了向量场在某个位置的旋转程度.
积规则
矢量有多种乘法规则, 对应的乘法与$\nabla$算子结合也有多种规则, 这些公式可通过展开定义进行证明.
对梯度有两个公式
$$
\nabla(fg) = f \nabla g + g \nabla f
$$
$$
\nabla(\vec{A}\cdot\vec{B}) = \vec{A} \times (\nabla \times \vec{B}) + \vec{B} \times (\nabla \times \vec{A}) + (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} + (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A}
$$
对散度有两个公式:
$$
\nabla \cdot(f \vec{A}) = f(\nabla \cdot \vec{A}) + \vec{A} \cdot (\nabla f)
$$
$$
\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times A) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})
$$
对旋度有两个公式
$$
\nabla \times (f\vec{A}) = f(\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \times (\nabla f)
$$
$$
\nabla \times (\vec{A} \times \vec{B}) = (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A} = (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} + \vec{A}(\nabla \cdot \vec{B}) - \vec{B}(\nabla \cdot \vec{A})
$$
不愧是我最爱的鬼画符环节, 还好我不用考试, 这些公式简直了.
二阶微分
通过作用2次$\nabla$算子可以得到多种结果, 梯度是一个矢量场, 可求散度和旋度, 即
梯度的散度 $\nabla \cdot (\nabla v)$: 该操作有有个单独的名称, 称为拉普拉斯算法, 可记作$\nabla^2$, 即
$$
\nabla^2 T = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}
$$
梯度的旋度 $\nabla \times (\nabla v)$: 通过展开定义可以证明, 该结果始终为0
散度是一个标量场, 仅可再求梯度, 即
散度的梯度 $\nabla (\nabla \cdot \vec{c})$: 在物理学中通常不会涉及该情况, 因此也没有单独的名称
旋度是一个矢量场, 可再求散度和旋度
旋度的散度 $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{v})$: 通过交换点乘和叉乘可以容易的证明, 该结果始终为0
旋度的旋度 $\nabla \times (\nabla \times \vec{v})$: 此操作没有产生新的东西, 通过矢量三重积的展开公式, 可以得到
$$
\nabla \times (\nabla \times \vec{v}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}
$$
通过此公式也可以反向定义拉普拉斯算子. 其优势在于此公式不局限于直角坐标系.
不得不感叹发明$\nabla$算子的人真是个天才, 这个符号居然完美的兼容了所有的矢量公式, 并且非常的对称和协调.
参考资料
重积分
二重积分
对于一个给定的二重积分, 可通过一定的分割, 将二重积分转换为两次积分, 即
$$
\iint_D f(x,y) \mathrm{d}x =\int_{a}^{b} \left [ \int_{\varphi_1(x) }^{\varphi_2(x) } f(x,y) \mathrm{d}y \right ]\mathrm{d}x
$$
二重积分的极坐标表示
在极坐标中, 单位面积的元素可采用如下方式计算
$$
\Delta \sigma_{i} = \frac{1}{2}\left(\rho_{i}+\Delta \rho_{i}\right)^{2} \cdot \Delta \theta_{i}-\frac{1}{2} \rho_{i}^{2} \cdot \Delta \theta_{i} = \bar{\rho}{i} \cdot \Delta \rho{i} \cdot \Delta \theta_{i}
$$
因此存在如下的转换关系
$$
\iint_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma = \iint_D f(\rho \cos \theta , \rho \sin\theta) \rho \mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta
$$
曲线积分
第一类曲线积分
设$f(x,y)$在曲线弧$L$上具有定义且连续, $L$的参数方程为$x=\varphi(t)$以及$y=\psi(t)$, 则第一类曲线积分的计算方式为
$$\int_{L} f(x,y)\mathrm{d} s = \int_{\alpha }^{\beta } f \left [ \varphi(t), \psi(t) \right ] \sqrt{ {\varphi(t)}^{\prime 2} + {\psi(t)}^{\prime 2} }\mathrm{d}t$$
第一类曲线积分相当于在已知一条曲线的线密度的情况下, 求解曲线的质量
第二类曲线积分
设$P(x, y)$和$Q(x, y)$在曲线弧$L$上具有定义且连续, $L$的参数方程为$x=\varphi(t)$以及$y=\psi(t)$, 则第二类曲线积分的计算方式为
$$
\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y = \int_{\alpha}^{\beta}{P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t), \psi(t)] \psi^{\prime}(t)} \mathrm{d} t
$$
第二类曲线积分相当于求解一个力在指定路径上做的功
对于第二类积分, 也可以写为矢量形式, 即
$$
W = \int_{L} \mathbf{F}(x, y) \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}
$$
其中$\mathbf{F}(x, y)= P(x, y)\vec{i} + Q(x, y)\vec{j}$, 并且$\mathrm{d}\mathbf{r}= \mathrm{d}x\vec{i} + \mathrm{d}y\vec{j}$
注意这并非单纯的形式上等价, 对于一个物理过程, 计算点乘的积分实际也就是计算这样的线积分.
曲面积分
设存在矢量场
$$
\vec{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}
$$
$\Sigma$是场内一片有向曲面, $\vec{n}$是$\Sigma$在点$(x,y,z)$处的单位法矢量, 则积分
$$
\iint\limits_{\Sigma}\vec{A}\cdot \vec{n}\mathrm{d}S
$$
称为矢量场$\vec{A}$通过曲面$\Sigma$的通量.
注意: 这里的点乘并不仅是一个记号, 实际也应该按照点乘展开积分表达式
微积分的基本定理
梯度基本定理
$$
\int_a^b (\nabla T) \cdot \mathrm{d} \vec{l} = T(b) - T(a)
$$
计算梯度的路径积分时, 其结果与路径无关, 仅取决于起始点和结束点.
如果起始点和结束点相同, 则积分结果为零, 即
$$
\oint (\nabla T) \cdot \mathrm{d} \vec{l} = 0
$$
散度基本定理
$$
\int_V (\nabla \cdot \vec{v}) \mathrm{d} \tau = \oint_S \vec{v} \cdot \mathrm{d} a
$$
散度基本定理也称为高斯定理, 该定理指出某个向量场的封闭曲面的通量等于其散度的体积分
旋度基本定理
$$
\int_S (\nabla \times \vec{v}) \mathrm{d} \vec{a} = \oint_S \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{l}
$$
旋度基本定理也称为斯托克斯定理. 该定理说明某个向量场的封闭曲线的环路积分等于该区域的旋度的面积分.
斯托克斯定理的二维版本就是经典的格林公式, 即设闭区域$D$由分段光滑的曲线$L$围成, 若函数$P(x, y)$和$Q(x, y)$在D上具有一阶连续偏导数, 则有
$$
\iint\limits_{D}\left ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right ) \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\oint_L P\mathrm{d}x+ Q\mathrm{d}y
$$
在物理学中通常反向利用该公式, 将一个做功的路径积分转换为二重积分
补充数学知识
圆锥曲线的极坐标表示
最后更新： 2025年03月12日 19:15
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