新春宅家中, 电动力学理渐融, 畅学乐无穷(让AI写个俳句, 居然还真能写)
电力是一种与万有引力类似但要强一万亿亿亿亿倍的力, 但是现实世界中的物理携带的电荷又正好保持精确的相等, 使得电力处于一种完美的平衡状态.
正如高中所学到的规律, 一个电荷$q$受到的力可以用电场和磁场进行描述. 结合相对论可以得到如下的关系:
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left [ \frac{mv}{(1-v^2/c^2)^{1/2}} \right ] = \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + v \times \mathbf{B})
$$
电磁场满足叠加原理, 因此1个电荷受到的多个电场作用的和力实际上就是电荷在每个电场中受到的力之和.
$\nabla$算子
梯度
对于一个给定的多元函数$f(x,y)$, 有时候想知道其在特定方向上的变化率, 则可以定义其方向导数如下:
$$
\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t\cos \alpha , y_0+t\sin\alpha) - f(x_0,y_0)}{t}
$$
由全微分的定义可知
$$
f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=f_x(x_0, y_0)\Delta x+f_y(x_0, y_0)\Delta y+ o (\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} )
$$
在当前情况下有$\Delta x = t \cos \alpha$, $\Delta y = t \sin \alpha$, 因此易得
$$
\frac{\partial f}{\partial l} = f_x(x_0, y_0)\cos \alpha+f_y(x_0, y_0)\sin \alpha
$$
显然, 当$\alpha$取不同方向时, 上述方向导数具有不同的大小, 而在所有的方向导数中, 存在一个角度可使得方向导数取得最大值. 将梯度定义为
$$
\nabla f = f_x(x_0, y_0)\vec{i} +f_y(x_0, y_0)\vec{j}
$$
则显然有梯度对应的方向可获得最大的方向导数, 即梯度指向函数增长最快的方向.
$\nabla$算子
基于以上关于梯度的例子, $\nabla$算子通常可定义为
$$
\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \vec{x} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y}
$$
$\nabla$算子是一个类似于矢量并同时具有微分性质的算符, 因此与向量类似, 可以与一个标量函数作用, 或者对一个矢量函数进行点乘或者叉乘运算.
散度
将$\nabla$算子与矢量函数的点乘定义为散度, 即
$$
\nabla \vec{v} = (\frac{\partial}{\partial x} \vec{x} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y}) \cdot (v_x \vec{x}, v_y \vec{y}, v_z \vec{z}) = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}
$$
散度衡量了向量场在某个位置的发散或聚集程度.
旋度
将$\nabla$算子与矢量函数的叉乘定义为散度, 即
$$
\nabla \times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
v_x & v_y & v_z
\end{array}\right|
$$
将上述行列式展开, 即
$$
\nabla \times \vec{v}=\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right) \vec{x}+\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right) \vec{y}+\left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right) \vec{z}
$$
旋度衡量了向量场在某个位置的旋转程度.
积规则
矢量有多种乘法规则, 对应的乘法与$\nabla$算子结合也有多种规则, 这些公式可通过展开定义进行证明.
对梯度有两个公式
$$
\nabla(fg) = f \nabla g + g \nabla f
$$
$$
\nabla(\vec{A}\cdot\vec{B}) = \vec{A} \times (\nabla \times \vec{B}) + \vec{B} \times (\nabla \times \vec{A}) + (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} + (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A}
$$
对散度有两个公式:
$$
\nabla \cdot(f \vec{A}) = f(\nabla \cdot \vec{A}) + \vec{A} \cdot (\nabla f)
$$
$$
\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times A) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})
$$
对旋度有两个公式
$$
\nabla \times (f\vec{A}) = f(\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \times (\nabla f)
$$
$$
\nabla \times (\vec{A} \times \vec{B}) = (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A} = (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} + \vec{A}(\nabla \cdot \vec{B}) - \vec{B}(\nabla \cdot \vec{A})
$$
不愧是我最爱的鬼画符环节, 还好我不用考试, 这些公式简直了.
二阶微分
通过作用2次$\nabla$算子可以得到多种结果, 梯度是一个矢量场, 可求散度和旋度, 即
梯度的散度 $\nabla \cdot (\nabla v)$: 该操作有有个单独的名称, 称为拉普拉斯算子, 可记作$\nabla^2$, 即
$$
\nabla^2 T = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}
$$
梯度的旋度 $\nabla \times (\nabla v)$: 通过展开定义可以证明, 该结果始终为0
散度是一个标量场, 仅可再求梯度, 即
散度的梯度 $\nabla (\nabla \cdot \vec{c})$: 在物理学中通常不会涉及该情况, 因此也没有单独的名称
旋度是一个矢量场, 可再求散度和旋度
旋度的散度 $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{v})$: 通过交换点乘和叉乘可以容易的证明, 该结果始终为0
旋度的旋度 $\nabla \times (\nabla \times \vec{v})$: 此操作没有产生新的东西, 通过矢量三重积的展开公式, 可以得到
$$
\nabla \times (\nabla \times \vec{v}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}
$$
通过此公式也可以反向定义拉普拉斯算子. 其优势在于此公式不局限于直角坐标系.
不得不感叹发明$\nabla$算子的人真是个天才, 这个符号居然完美的兼容了所有的矢量公式, 并且非常的对称和协调.
参考资料
麦克斯韦方程组
电磁场的所有规律都可以由麦克斯韦方程组描述, 其数学基础是散度和旋度, 理解了这些概念后, 电磁场可以由如下的四个公式表示
| 方程名称 | 积分形式 | 微分形式 | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 电场高斯定律 | $\displaystyle\oint_S \vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_0}$ | $\displaystyle\nabla\cdot\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$ | 电场由电荷激发，是有源场 |
| 磁场高斯定律 | $\displaystyle\oint_S \vec B\cdot d\vec S=0$ | $\displaystyle\nabla\cdot\vec B=0$ | 无磁单极，磁场是无源场 |
| 法拉第电磁感应定律 | $\displaystyle\oint_L \vec E\cdot d\vec l=-\frac{d}{dt}\int_S \vec B\cdot d\vec S$ | $\displaystyle\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}$ | 变化磁场激发涡旋电场 |
| 安培–麦克斯韦环路定律 | $\displaystyle\oint_L \vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I+\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_S \vec E\cdot d\vec S$ | $\displaystyle\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$ | 电流与变化电场均激发磁场 |
静电场
静电场$\mathbf{E}$并不是一个普通的矢量函数, 因为其旋度为零, 对其沿着任意闭合路径的积分都为零, 或者说其路径积分的值仅取决于起始和结束为止, 而与实际路径无关, 因此总可以定义一个函数
$$
V(\mathbf{r}) = -\int^r_O \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}
$$
V称为电势, 并且由梯度的基本定理有
$$
\mathbf{E} = -\nabla V
$$
为什么V是一个一维的数值函数, 却可以计算出一个三维的矢量函数? 因为旋度为零导致E的三个维度并非相互独立, 而需要遵守一定的对应关系. 实际上所有的电学规律只需要高斯定理+电场E是一个梯度场就可以得到.
基于以上关系, 实际上可以用一个方程描述电场的关系, 即
$$
\nabla \cdot \mathbf{E} = - \nabla \cdot \nabla V = - \nabla ^2 V = \frac{\rho}{\varepsilon _0}
$$
$\nabla^2$称为拉普拉斯算符, 而以上方程称为泊松方程. 在数学上对这种方程进行研究得到的结论可以应用到电场中.
电偶极子
对于两个靠的非常近的异种电荷, 考虑它们产生的电场, 可以先计算电势
$$
V(x, y, z) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}[\frac{q}{\sqrt{(z-(d/2)^2 +x^2+y^2)}} + \frac{-q}{\sqrt{(z+(d/2)^2 +x^2+y^2)}}]
$$
只要得到电势的函数, 就可以确定电场的表达式是可以得到的. 如果d比较小, 可以有
$$
(z - \frac{d}{2})^2 \approx z^2 - zd
$$
带入上述关系后可以再次做简化(对根式进行泰勒展开, 丢弃d的高阶项)
$$
(1 - (zd/r^2))^{-1/2} = \frac{1}{r}(1+\frac{1}{2}\frac{zd}{r^2})
$$
最终可以得到表达式
$$
V(x,y,z) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{z}{r^3}qd
$$
其中$qd$表示电荷与间距的乘积, 可以将其定义为两个电荷的偶极矩, 记为$p$. 上式也可以写为
$$
V(x,y,z) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}
$$
其中$\theta$是偶极子轴与指向点$(x,y,z)$的径向矢量的夹角. 偶极子的势按照二次方下降, 而点电荷按照一次方下降. 因此偶极子的电场衰减更快.
对于一团整体是点中性的电荷足够远时, 其势就是偶极子势, 其强度与电荷的偶极矩有关. 例如水分子具有极强的偶极矩, 这导致了水分子的一些特殊性质. 而对于类似CO2的分子, 由于对称性, 其偶极矩为零.
电介质
法拉第发现在平行板电容器中插入绝缘体, 如果绝缘体填满间隙, 则电容会增加$k$倍, 倍数取决于绝缘材料的性质. 绝缘材料称为电介质, 而这个因子$k$称为介电常量. 当然真空中的介电常量定义为1.
为什么电介质会增加电容? 因为电介质插入后内部会感应出电场, 相当于减小了两个极板之间的距离, 或者说减弱了两个极板之间的电场, 因此电量不变的情况下, 电容增加了.
极化的微观机制
物质的分子是电中性的, 但其中正电荷与负电荷的分布并不是完全一致的, 在外部电场的作用下有两个变化
- 对于无极性的分子(例如$H_2$), 没有外部电场时没有电矩. 在外部电场的作用下时, 由于电子质量更小, 因此主要由电子产生位移, 称为电子位移极化
- 对于有极性的分子(例如$H_2O$), 没有外部电场时, 虽然分子本身有电矩, 但由于分子不规则的热运动, 整体上将电矩相互抵消. 在外部电场作用下时, 每个分子都受到力矩作用, 因此分子的电矩转向到电场的方向, 整体表现出电矩, 称为取向极化
极化矢量
电介质中感应出电场时, 可以将其中的分子视为偶极子, 由于电介质并不导电, 因此其中的分子只能在电场作用下产生微小的偏移, 满足电偶极子的条件.
对于单位体积内, 所有电偶极子的偶极矩之和定义为极化矢量, 记为$P$. 如果介质中各点的极化强度矢量大小和方向均相同, 则称该介质是均匀的.
电介质内部的分子电偶极矩是”首位相连”的, 因此可以证明$\sigma’_e = P \cdot n$,即电介质表面的电荷密度等于极化矢量与法向量的点乘.
电介质极化时产生极化电荷, 因此根据叠加原理, 有电介质存在时, 空间任意一点的场强$E$是外电场$E_0$和极化电荷的电场$E’$的矢量和
极化率
电介质中任一点的极化强度$P$是由总电场$E$决定的. 对于不同的物质, 两者的关系是不同的. 但实验表明, 对于大多数常见的各向同性线性电介质, 两者成正比, 即
$$
P = \chi_e\epsilon_0E
$$
比例常数$\chi_e$叫做极化率, 与场强无关, 是介质材料的属性.
注意: 影响强度的是总电场$E$, 而不是外电场$E_0$, $E$本身就又受到$P$的影响, 因此这些因素之间相互制约, 计算时需要综合考虑.
对于一个平行板电容器中充满了极化率为$\chi_e$的均匀电介质. 已知充电后的金属极板上的自由电荷的密度为$\sigma_{e0}$, 则有: 极化电荷面密度$\sigma_e’ = P$, 退极化场$E’= \sigma_e’ / \epsilon_0$, 根据叠加原理, 有
$$
E = E_0 - E’ = E_0 - \frac{P}{\epsilon_0} = E_0 - \frac{\chi_e\epsilon_0E}{\epsilon_0} = E_0 - \chi_eE
$$
因此有
$$
E = \frac{E_0}{1+\chi_eE} = \frac{\sigma_{e0}}{(1+\chi_eE)\epsilon_0}
$$
$$
\sigma_e’ = P = \frac{\chi_e\sigma_{e0}}{1+\chi_e}
$$
以上结果表明, 插入电介质后电场变为真空时的$1/(1+\chi_e)$倍, 因此电容变为
$$
C = \frac{q_0}{U} = \frac{\sigma_{e0}S}{Ed}= \frac{(1+\chi_e) \epsilon_0 S}{d} = (1+\chi_e) C_0
$$
有电介质的静电方程组
$$
\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0} = \frac{\rho_{自由} + \rho_{极化}}{\epsilon_0} = \frac{\rho_{自由} - \nabla \cdot P}{\epsilon_0}
$$
则有
$$
\nabla \cdot (E + \frac{P}{\epsilon_0}) = \frac{\rho_{自由}}{\epsilon_0}
$$
这是一个非常有趣的结果, 使用此方法求电场强度的时候就不需要再极化电荷了. 历史上由于对极化电荷的研究不充分, 最初实际上就是按照上面形式定义的高斯公式(并加入了一系列我已经分不清的系数)
静磁学
定义单位时间内垂直于流动方向的单位面积元的电荷量称为电流密度, 记为$j$, 则单位时间通过任意一个面S的总电量称为电流
$$
I = \int_S j \cdot n \mathrm{d}S
$$
由于电荷守恒, 因此对于任意一个闭合面, 如果有净电流, 则内部的电荷应该相应减少, 可以写为
$$
\nabla \cdot j = - \frac{\partial \rho}{ \partial t}
$$
电荷和电流受到的磁力分别为$F = q v \times B$和$dF = I \times B dL$. 因此只要知道$B$就可以求解磁力的大小. 根据麦克斯韦方程组, 在静磁场条件下有
$$
\nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\mathbf{j}
$$
由于任何矢量的旋度的散度必须等于零, 因此对上式去散度后要求$\nabla \cdot j = 0$, 结合电荷守恒的公式, 则等价于$\frac{\partial \rho}{ \partial t} = 0$, 这也就是所谓的恒定电流.
实际的麦克斯韦方程组对于B的旋度有两项, 因此散度为零的条件可以推导出一些新的东西
根据斯托克斯公式, 有
$$
\oint B \cdot \mathrm{d}s = \int(\nabla \times B) \cdot n \mathrm{d}S = \mu_0 \int_S j \cdot n \mathrm{d}S = \mu_0 I
$$
其中I是穿过该环路的电流. 对于一个恒定大小的电流I, 取一个圆周环路, 则有
$$
\oint B \cdot \mathrm{d}s = B \cdot 2 \pi r = \mu_0 I
$$
因此有
$$
B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I}{r}
$$
磁场的强度与$r$反比的减弱.
矢势
正如同在静电场中$E$的旋度为零说明$E$是某个函数的梯度, $B$的散度始终等于零, 因此总可以把$B$表示为某个矢量场的旋度, 即
$$
B = \nabla \times A
$$
$A$称为矢势. 类似于电场的势函数可以增加任意常数, $A$也可以增加任何矢量场, 只要该矢量场是某一个标量场的梯度(也就是没有旋度). 因此实际上可以任意规定$A$的散度(通过增加需要的矢量场), 通常可以简单选择
$$
\nabla \cdot A = 0
$$
将旋度的表达式展开后尝试给定一个固定的$B$来求解$A$, 可以发现$A$的解法不唯一, 而且不同解的线性组合依然是解.
对于矢势$A$, 绕任意闭合回路的环流有
$$
\oint_\Gamma A \cdot \mathrm{d}s = \int_S (\nabla \times A) \cdot n \mathrm{d}a = \int_S B \cdot n \mathrm{d}a
$$
如果选择一个半径为$r$的圆作为路径, 则有
$$
\oint_\Gamma A \cdot \mathrm{d}s = 2 \pi r A
$$
$$
\int_S B \cdot n \mathrm{d}a = \pi r^2 B
$$
因此可以得到
$$
A = \frac{Br}{2}
$$
电流的矢势
由于$B$由电流确定, 因此$A$也可以, 即
$$
\nabla \times B = \nabla \times (\nabla \times A) = \mu_0 j
$$
已知
$$
\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla(\nabla \cdot A) - \nabla^2 A
$$
现在令
$$
\nabla \cdot A = 0
$$
则可以再一次得到拉普拉斯方程
$$
\nabla^2 A = - \mu_0 j
$$
最后更新： 2026年04月14日 22:05
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