新春宅家中, 电动力学理渐融, 畅学乐无穷(让AI写个俳句, 居然还真能写)
电力是一种与万有引力类似但要强一万亿亿亿亿倍的力, 但是现实世界中的物理携带的电荷又正好保持精确的相等, 使得电力处于一种完美的平衡状态.
正如高中所学到的规律, 一个电荷$q$受到的力可以用电场和磁场进行描述. 结合相对论可以得到如下的关系:
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left [ \frac{mv}{(1-v^2/c^2)^{1/2}} \right ] = \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + v \times \mathbf{B})
$$
电磁场满足叠加原理, 因此1个电荷受到的多个电场作用的和力实际上就是电荷在每个电场中受到的力之和. 实际上由于力学的公式仅有如上的一条, 因此只需要研究清楚电场和磁场的情况, 就可以使用上述公式求得受力情况.
而关于电场E和磁场B的关系, 在麦克斯韦方程组中有完整描述, 因此只需要以上的受力公式+麦克斯韦方程组就可以完整的解决电磁学的所有问题了.
$\nabla$算子
梯度
对于一个给定的多元函数$f(x,y)$, 有时候想知道其在特定方向上的变化率, 则可以定义其方向导数如下:
$$
\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t\cos \alpha , y_0+t\sin\alpha) - f(x_0,y_0)}{t}
$$
由全微分的定义可知
$$
f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=f_x(x_0, y_0)\Delta x+f_y(x_0, y_0)\Delta y+ o (\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} )
$$
在当前情况下有$\Delta x = t \cos \alpha$,$\Delta y = t \sin \alpha$, 因此易得
$$
\frac{\partial f}{\partial l} = f_x(x_0, y_0)\cos \alpha+f_y(x_0, y_0)\sin \alpha
$$
显然, 当$\alpha$取不同方向时, 上述方向导数具有不同的大小, 而在所有的方向导数中, 存在一个角度可使得方向导数取得最大值. 将梯度定义为
$$
\nabla f = f_x(x_0, y_0)\vec{i} +f_y(x_0, y_0)\vec{j}
$$
则显然有梯度对应的方向可获得最大的方向导数, 即梯度指向函数增长最快的方向.
###$\nabla$算子
基于以上关于梯度的例子,$\nabla$算子通常可定义为
$$
\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \vec{x} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y}
$$
$\nabla$算子是一个类似于矢量并同时具有微分性质的算符, 因此与向量类似, 可以与一个标量函数作用, 或者对一个矢量函数进行点乘或者叉乘运算.
散度
将$\nabla$算子与矢量函数的点乘定义为散度, 即
$$
\nabla \vec{v} = (\frac{\partial}{\partial x} \vec{x} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y}) \cdot (v_x \vec{x}, v_y \vec{y}, v_z \vec{z}) = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}
$$
散度衡量了向量场在某个位置的发散或聚集程度.
旋度
将$\nabla$算子与矢量函数的叉乘定义为散度, 即
$$
\nabla \times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
v_x & v_y & v_z
\end{array}\right|
$$
将上述行列式展开, 即
$$
\nabla \times \vec{v}=\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right) \vec{x}+\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right) \vec{y}+\left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right) \vec{z}
$$
旋度衡量了向量场在某个位置的旋转程度.
积规则
矢量有多种乘法规则, 对应的乘法与$\nabla$算子结合也有多种规则, 这些公式可通过展开定义进行证明.
对梯度有两个公式
$$
\nabla(fg) = f \nabla g + g \nabla f
$$
$$
\nabla(\vec{A}\cdot\vec{B}) = \vec{A} \times (\nabla \times \vec{B}) + \vec{B} \times (\nabla \times \vec{A}) + (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} + (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A}
$$
对散度有两个公式:
$$
\nabla \cdot(f \vec{A}) = f(\nabla \cdot \vec{A}) + \vec{A} \cdot (\nabla f)
$$
$$
\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times A) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})
$$
对旋度有两个公式
$$
\nabla \times (f\vec{A}) = f(\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \times (\nabla f)
$$
$$
\nabla \times (\vec{A} \times \vec{B}) = (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A} = (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} + \vec{A}(\nabla \cdot \vec{B}) - \vec{B}(\nabla \cdot \vec{A})
$$
不愧是我最爱的鬼画符环节, 还好我不用考试, 这些公式简直了.
二阶微分
通过作用2次$\nabla$算子可以得到多种结果, 梯度是一个矢量场, 可求散度和旋度, 即
梯度的散度$\nabla \cdot (\nabla v)$: 该操作有有个单独的名称, 称为拉普拉斯算子, 可记作$\nabla^2$, 即
$$
\nabla^2 T = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}
$$
梯度的旋度$\nabla \times (\nabla v)$: 通过展开定义可以证明, 该结果始终为0
散度是一个标量场, 仅可再求梯度, 即
散度的梯度$\nabla (\nabla \cdot \vec{c})$: 在物理学中通常不会涉及该情况, 因此也没有单独的名称
旋度是一个矢量场, 可再求散度和旋度
旋度的散度$\nabla \cdot (\nabla \times \vec{v})$: 通过交换点乘和叉乘可以容易的证明, 该结果始终为0
旋度的旋度$\nabla \times (\nabla \times \vec{v})$: 此操作没有产生新的东西, 通过矢量三重积的展开公式, 可以得到
$$
\nabla \times (\nabla \times \vec{v}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}
$$
通过此公式也可以反向定义拉普拉斯算子. 其优势在于此公式不局限于直角坐标系.
不得不感叹发明$\nabla$算子的人真是个天才, 这个符号居然完美的兼容了所有的矢量公式, 并且非常的对称和协调.
亥姆霍茨定理
对于一个矢量场F, 如果已知其散度和旋度, 并且具有边界条件(例如无穷远处为零), 则可以唯一的确定F, 即满足如下方程且具有边界条件的F是唯一的
$$
\nabla \cdot F = D
\nabla \times F = C
\nabla \cdot C = 0
$$
此外, 对于任意F, 均可以表示为一个标量的地图和矢量的旋度之和, 即
$$
F = -\nabla V + \nabla \times A
$$
参考资料
麦克斯韦方程组
电磁场的所有规律都可以由麦克斯韦方程组描述, 其数学基础是散度和旋度, 理解了这些概念后, 电磁场可以由如下的四个公式表示
| 方程名称 | 积分形式 | 微分形式 | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 电场高斯定律 | $\displaystyle\oint_S \vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_0}$ | $\displaystyle\nabla\cdot\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$ | 电场由电荷激发，是有源场 |
| 磁场高斯定律 | $\displaystyle\oint_S \vec B\cdot d\vec S=0$ | $\displaystyle\nabla\cdot\vec B=0$ | 无磁单极，磁场是无源场 |
| 法拉第电磁感应定律 | $\displaystyle\oint_L \vec E\cdot d\vec l=-\frac{d}{dt}\int_S \vec B\cdot d\vec S$ | $\displaystyle\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}$ | 变化磁场激发涡旋电场 |
| 安培–麦克斯韦环路定律 | $\displaystyle\oint_L \vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I+\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_S \vec E\cdot d\vec S$ | $\displaystyle\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$ | 电流与变化电场均激发磁场 |
静电场
静电场$\mathbf{E}$并不是一个普通的矢量函数, 因为其旋度为零, 对其沿着任意闭合路径的积分都为零, 或者说其路径积分的值仅取决于起始和结束为止, 而与实际路径无关, 因此总可以定义一个函数
$$
V(\mathbf{r}) = -\int^r_O \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}
$$
V称为电势, 并且由梯度的基本定理有
$$
\mathbf{E} = -\nabla V
$$
为什么V是一个一维的数值函数, 却可以计算出一个三维的矢量函数? 因为旋度为零导致E的三个维度并非相互独立, 而需要遵守一定的对应关系. 实际上所有的电学规律只需要高斯定理+电场E是一个梯度场就可以得到.
基于以上关系, 实际上可以用一个方程描述电场的关系, 即
$$
\nabla \cdot \mathbf{E} = - \nabla \cdot \nabla V = - \nabla ^2 V = \frac{\rho}{\varepsilon _0}
$$
$\nabla^2$称为拉普拉斯算符, 而以上方程称为泊松方程. 在数学上对这种方程进行研究得到的结论可以应用到电场中.
电偶极子
对于两个靠的非常近的异种电荷, 考虑它们产生的电场, 可以先计算电势
$$
V(x, y, z) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}[\frac{q}{\sqrt{(z-(d/2)^2 +x^2+y^2)}} + \frac{-q}{\sqrt{(z+(d/2)^2 +x^2+y^2)}}]
$$
只要得到电势的函数, 就可以确定电场的表达式是可以得到的. 如果d比较小, 可以有
$$
(z - \frac{d}{2})^2 \approx z^2 - zd
$$
带入上述关系后可以再次做简化(对根式进行泰勒展开, 丢弃d的高阶项)
$$
(1 - (zd/r^2))^{-1/2} = \frac{1}{r}(1+\frac{1}{2}\frac{zd}{r^2})
$$
最终可以得到表达式
$$
V(x,y,z) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{z}{r^3}qd
$$
其中$qd$表示电荷与间距的乘积, 可以将其定义为两个电荷的偶极矩, 记为$p$. 上式也可以写为
$$
V(x,y,z) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}
$$
其中$\theta$是偶极子轴与指向点$(x,y,z)$的径向矢量的夹角. 偶极子的势按照二次方下降, 而点电荷按照一次方下降. 因此偶极子的电场衰减更快.
对于一团整体是点中性的电荷足够远时, 其势就是偶极子势, 其强度与电荷的偶极矩有关. 例如水分子具有极强的偶极矩, 这导致了水分子的一些特殊性质. 而对于类似CO2的分子, 由于对称性, 其偶极矩为零.
电介质
法拉第发现在平行板电容器中插入绝缘体, 如果绝缘体填满间隙, 则电容会增加$k$倍, 倍数取决于绝缘材料的性质. 绝缘材料称为电介质, 而这个因子$k$称为介电常量. 当然真空中的介电常量定义为1.
为什么电介质会增加电容? 因为电介质插入后内部会感应出电场, 相当于减小了两个极板之间的距离, 或者说减弱了两个极板之间的电场, 因此电量不变的情况下, 电容增加了.
极化的微观机制
物质的分子是电中性的, 但其中正电荷与负电荷的分布并不是完全一致的, 在外部电场的作用下有两个变化
- 对于无极性的分子(例如$H_2$), 没有外部电场时没有电矩. 在外部电场的作用下时, 由于电子质量更小, 因此主要由电子产生位移, 称为电子位移极化
- 对于有极性的分子(例如$H_2O$), 没有外部电场时, 虽然分子本身有电矩, 但由于分子不规则的热运动, 整体上将电矩相互抵消. 在外部电场作用下时, 每个分子都受到力矩作用, 因此分子的电矩转向到电场的方向, 整体表现出电矩, 称为取向极化
极化矢量
电介质中感应出电场时, 可以将其中的分子视为偶极子, 由于电介质并不导电, 因此其中的分子只能在电场作用下产生微小的偏移, 满足电偶极子的条件.
对于单位体积内, 所有电偶极子的偶极矩之和定义为极化矢量, 记为$P$. 如果介质中各点的极化强度矢量大小和方向均相同, 则称该介质是均匀的.
电介质内部的分子电偶极矩是”首位相连”的, 因此可以证明$\sigma’_e = P \cdot n$,即电介质表面的电荷密度等于极化矢量与法向量的点乘.
电介质极化时产生极化电荷, 因此根据叠加原理, 有电介质存在时, 空间任意一点的场强$E$是外电场$E_0$和极化电荷的电场$E’$的矢量和
极化率
电介质中任一点的极化强度$P$是由总电场$E$决定的. 对于不同的物质, 两者的关系是不同的. 但实验表明, 对于大多数常见的各向同性线性电介质, 两者成正比, 即
$$
P = \chi_e\epsilon_0E
$$
比例常数$\chi_e$叫做极化率, 与场强无关, 是介质材料的属性.
注意: 影响强度的是总电场$E$, 而不是外电场$E_0$,$E$本身就又受到$P$的影响, 因此这些因素之间相互制约, 计算时需要综合考虑.
对于一个平行板电容器中充满了极化率为$\chi_e$的均匀电介质. 已知充电后的金属极板上的自由电荷的密度为$\sigma_{e0}$, 则有: 极化电荷面密度$\sigma_e’ = P$, 退极化场$E’= \sigma_e’ / \epsilon_0$, 根据叠加原理, 有
$$
E = E_0 - E’ = E_0 - \frac{P}{\epsilon_0} = E_0 - \frac{\chi_e\epsilon_0E}{\epsilon_0} = E_0 - \chi_eE
$$
因此有
$$
E = \frac{E_0}{1+\chi_eE} = \frac{\sigma_{e0}}{(1+\chi_eE)\epsilon_0}
$$
$$
\sigma_e’ = P = \frac{\chi_e\sigma_{e0}}{1+\chi_e}
$$
以上结果表明, 插入电介质后电场变为真空时的$1/(1+\chi_e)$倍, 因此电容变为
$$
C = \frac{q_0}{U} = \frac{\sigma_{e0}S}{Ed}= \frac{(1+\chi_e) \epsilon_0 S}{d} = (1+\chi_e) C_0
$$
有电介质的静电方程组
$$
\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0} = \frac{\rho_{自由} + \rho_{极化}}{\epsilon_0} = \frac{\rho_{自由} - \nabla \cdot P}{\epsilon_0}
$$
则有
$$
\nabla \cdot (E + \frac{P}{\epsilon_0}) = \frac{\rho_{自由}}{\epsilon_0}
$$
这是一个非常有趣的结果, 使用此方法求电场强度的时候就不需要再极化电荷了. 历史上由于对极化电荷的研究不充分, 最初实际上就是按照上面形式定义的高斯公式(并加入了一系列我已经分不清的系数)
静磁学
定义单位时间内垂直于流动方向的单位面积元的电荷量称为电流密度, 记为$j$, 则单位时间通过任意一个面S的总电量称为电流
$$
I = \int_S j \cdot n \mathrm{d}S
$$
由于电荷守恒, 因此对于任意一个闭合面, 如果有净电流, 则内部的电荷应该相应减少, 可以写为
$$
\nabla \cdot j = - \frac{\partial \rho}{ \partial t}
$$
电荷和电流受到的磁力分别为$F = q v \times B$和$dF = I \times B dL$. 因此只要知道$B$就可以求解磁力的大小. 根据麦克斯韦方程组, 在静磁场条件下有
$$
\nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\mathbf{j}
$$
由于任何矢量的旋度的散度必须等于零, 因此对上式去散度后要求$\nabla \cdot j = 0$, 结合电荷守恒的公式, 则等价于$\frac{\partial \rho}{ \partial t} = 0$, 这也就是所谓的恒定电流.
实际的麦克斯韦方程组对于B的旋度有两项, 因此散度为零的条件可以推导出一些新的东西
根据斯托克斯公式, 有
$$
\oint B \cdot \mathrm{d}s = \int(\nabla \times B) \cdot n \mathrm{d}S = \mu_0 \int_S j \cdot n \mathrm{d}S = \mu_0 I
$$
其中I是穿过该环路的电流. 对于一个恒定大小的电流I, 取一个圆周环路, 则有
$$
\oint B \cdot \mathrm{d}s = B \cdot 2 \pi r = \mu_0 I
$$
因此有
$$
B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I}{r}
$$
磁场的强度与$r$反比的减弱.
矢势
正如同在静电场中$E$的旋度为零说明$E$是某个函数的梯度,$B$的散度始终等于零, 因此总可以把$B$表示为某个矢量场的旋度, 即
$$
B = \nabla \times A
$$
$A$称为矢势. 类似于电场的势函数可以增加任意常数,$A$也可以增加任何矢量场, 只要该矢量场是某一个标量场的梯度(也就是没有旋度). 因此实际上可以任意规定$A$的散度(通过增加需要的矢量场), 通常可以简单选择
$$
\nabla \cdot A = 0
$$
将旋度的表达式展开后尝试给定一个固定的$B$来求解$A$, 可以发现$A$的解法不唯一, 而且不同解的线性组合依然是解.
对于矢势$A$, 绕任意闭合回路的环流有
$$
\oint_\Gamma A \cdot \mathrm{d}s = \int_S (\nabla \times A) \cdot n \mathrm{d}a = \int_S B \cdot n \mathrm{d}a
$$
如果选择一个半径为$r$的圆作为路径, 则有
$$
\oint_\Gamma A \cdot \mathrm{d}s = 2 \pi r A
$$
$$
\int_S B \cdot n \mathrm{d}a = \pi r^2 B
$$
因此可以得到
$$
A = \frac{Br}{2}
$$
电流的矢势
由于$B$由电流确定, 因此$A$也可以, 即
$$
\nabla \times B = \nabla \times (\nabla \times A) = \mu_0 j
$$
已知
$$
\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla(\nabla \cdot A) - \nabla^2 A
$$
现在令
$$
\nabla \cdot A = 0
$$
则可以再一次得到拉普拉斯方程
$$
\nabla^2 A = - \mu_0 j
$$
欧姆定律
为了使电荷流动, 需要对电荷施加驱动力, 对于大多数物质来说, 电流密度与每单位受到的力成正比
$$
J = \sigma f
$$
其中$\sigma$是一种衡量材料导电性能的参数, 而通常使用电磁力驱动时, 有
$$
J = \sigma(E + v \times B)
$$
通常电荷的速度非常小, 以至于第二项可以忽略, 此时有
$$
J = \sigma E
$$
称为欧姆定律. 以上是针对常规的导体, 但在等离子体中, 第二项就可能产生非常大的贡献了.
电动势
对于一个包含电池的典型电路, 电流在遍及电路的过程中涉及两个力, 电源内部的一种驱动力$f_s$和电场$E$产生的静电力. 可以有多种方式产生$f_s$, 例如化学反应, 压电晶体中机械力产生, 热电偶中温度梯度产生等.
定义电动势为
$$
\epsilon = \oint f_s \cdot \mathrm{d}l
$$
注意: 由于静电力旋度为零, 因此按照上面的公式计算的值也一定为零. 只有电源内部的驱动力会产生电动势
电动势是描述电源内部“非静电力”做功本领的物理量。电动势的大小等于将单位正电荷从电源的负极（低电势端）通过电源内部移动到正极（高电势端）时，非静电力所做的功。
感应定律
法拉第定律
最初的法拉第定理与麦克斯韦方程组中的表述并不一致. 法拉第定理描述了电动势和磁通量的关系. 即
$$
\epsilon = \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}t}
$$
对于一个矩形导线构成的回路, 假设其处于均匀磁场$B$中, 将其三端固定, 仅保留一端以速度$v$滑动, 则根据通量规则有, 电动势为
$$
\epsilon = wB\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} = wBv
$$
这一表述可以从力的角度进行分析, 对于移动的杆, 其中的电荷受到的磁力为$v \times B$. 移动杆时, 每单位电荷均会受到这么大的力, 因此积分可得到电动势为
$$
\epsilon = wvB
$$
两者的结果完全相同.
在以上场景中只有回路的形状发生变化, 而磁场本身并无变化. 这种情况称为动生电动势.
麦克斯韦方程组中法拉第定律写作
$$
\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}
$$
利用斯托克斯公式可以写成积分形式
$$
\oint_\Gamma E \cdot \mathrm{d} s = \int_S (\nabla \times E) \cdot n \mathrm{d} a = - \int_S \frac{\partial B}{\partial t} n \mathrm{d} a
$$
由于$\Gamma$是一条确定的曲线, 因此$S$也是固定的, 此时可以把微分拿到积分符号外面, 则有
$$
\oint_\Gamma E \cdot \mathrm{d} s = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(穿过S的通量)
$$
这种情况下曲线路径是固定的, 而磁场是变化的. 这样产生的电动势称为感生电动势.
对于什么情况下可以拿到积分外面以及什么时候可以交换求和与积分, 我已不想深究, 反正费曼说可以那就可以吧
通量规则的例外
以上是两种通量规则的以外情况, 第一种情况下通量没有变化, 但依然可以产生电动势. 如果按照磁力为$v \times B$做工考虑, 则可以确认应该存在电动势.
第二种情况下, 虽然磁通量存在变化, 但变化过程中构成回路的导体在不断改变, 因此反而没有电动势. 通量规则更多是适用于考虑磁场本身变化的场景.
此外, 应该注意到变化的磁场产生了一种旋转的效应, 如果放入带电物体, 那么这个物体会获得角动量. 这暗示了电磁场本身应该具有动量和能量, 否则将违背守恒定律
动生电动势与真实电场
按照法拉第定理的最初形式, 电动势可以分为动生电动势和感生电动势, 两种情况均可以对外做功. 但可以注意到, 在麦克斯韦方程组中, 只包含了磁场变化导致的感生电动势. 这表明这两种情况实际上是不同的.
对于感生电动势, 变化的磁场将会产生一个有旋度的电场, 而这个电场是充斥在空间之中的, 其他的带电粒子如果处于其中则会受到电场力的作用, 表现出存在电动势.
而对于动生电动势, 其核心是洛伦兹力做功, 其来源是$v \times B$, 在这个过程中并没有产生充斥在空间中的电场, 因此也没有旋度.
通量规则是宏观的规则体现, 而动生电动势和感生电动势才是其底层的本质
互感与自感
之前已经计算过, 对于一个长螺线管内的磁场是均匀的且大小为
$$
B = \frac{1}{\epsilon_0 c^2} \frac{NI}{l}
$$
其中$N$为匝数,$I$为电流大小,$l$为线圈长度. 如果将另外一个线圈环绕此线圈, 可以得到感应的电动势与电流变化量正比, 可以记为
$$
\epsilon_2 = M_{21} \frac{\mathrm{d} I_1}{\mathrm{d} t}
$$
其中M称为互感. 对于一般的情况也可以类似的计算出互感的具体表达式, 并且证明是对称的.
如果两个线圈中均有电流, 则每个线圈中的磁通量是两个线圈的磁通量之和, 叠加定理对于磁场依然是生效的. 即
$$
\epsilon_2 = M_{21} \frac{\mathrm{d} I_1}{\mathrm{d} t} + M_{22} \frac{\mathrm{d} I_2}{\mathrm{d} t}
$$
基于通常的习惯, 将顺着电流方向的电动势定义为正, 因此$M_{22}$始终为负, 可以写为
$$
M_{22} = -L_2
$$
其中$L$称为线圈的自感
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组的第四项可以写为
$$
c^2\nabla \times B = \frac{j}{\epsilon_0} + \frac{\partial E}{ \partial t} c^2
$$
注意到左边是一个旋度, 因此对其取散度结果应该为零, 那么有
$$
\nabla \cdot \frac{j}{\epsilon_0} + \nabla \frac{\partial E}{ \partial t} = 0
$$
其中第二项可以交换坐标和对时间的微分的次序, 有
$$
\nabla \cdot j + \epsilon_0 \frac{\partial }{ \partial t} \nabla E = 0
$$
带入麦克斯韦方程组第一项, 则有
$$
\nabla \cdot j = -\frac{\partial \rho}{\partial t}
$$
这就是之前已经证明过的电荷守恒方程. 因此麦克斯韦方程组的第四项与已知的现象不矛盾. 或者说, 如果没有关于电场变化率的部分, 就会和已有的实验产生矛盾.
坡印廷定理
将一个静态电荷聚集到一起所需要的功为
$$
W_e = \frac{\epsilon_0}{2} \int E^2 \mathrm{d} \tau
$$
类似的, 使电荷流动产生的电流需要做的功(克服反电动势)为
$$
W_m = \frac{1}{2\mu_0} \int B^2 \mathrm{d} \tau
$$
这表明电磁场所具有的总能量为
$$
U_{em} = W_e + W_m
$$
电磁场的能量是弥散在整个空间中的, 在讨论总能量时需要指定一个体积, 在该体积内按照上面的公式求积分
假设存在电荷与电流分布, 在$t$时刻产生的电场和磁场分别为$E$和$B$, 则在$\mathrm{d} t$时间内电磁场做的功为
$$
F \cdot \mathrm{d}l = q(E + v \times B) \cdot v \mathrm{d} t
$$
由于$q=\rho \mathrm{d} \tau$,$\rho v = J$, 带入可得
$$
\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t} = \int_V (E \cdot J) \mathrm{d} \tau
$$
因此$E \cdot J$是单位时间内对单位体积内的电荷所做的功, 使用麦克斯韦方程组替换掉$J$, 则有
$$
E \cdot J = \frac{1}{\mu_0} E \cdot (\nabla \times B) - \epsilon_0 E \cdot \frac{\partial E}{\partial t}
$$
根据$\nabla$算子规则, 有
$$
\nabla \cdot (E \times B) = B \cdot (\nabla \times E) - E \cdot (\nabla \times B)
$$
移项并带入法拉第定律有
$$
E \cdot (\nabla \times B) = - B \cdot \frac{\partial B}{\partial t} - \nabla \cdot (E \times B)
$$
又因为有
$$
B \cdot \frac{\partial B}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial }{\partial t}(B^2)
$$
注意这里$B$原本是矢量, 但$B^2$变成标量了
同样$E$有相同的公式, 因此全部带入后有
$$
E \cdot J = - \frac{1}{2} \frac{\partial }{\partial t} (\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2) - \frac{1}{\mu_0} \nabla \cdot (E \times B)
$$
对第二项使用散度定理, 最终可以得到
$$
\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t} = - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \int_V \frac{1}{2} \frac{\partial }{\partial t} (\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2) \mathrm{d} \tau - \frac{1}{\mu_0} \oint_S (E \times B) \cdot \mathrm{d} a
$$
其中$S$是体积$V$的边界. 这就是坡印廷定理, 公式右边第一项是电磁场的总能量, 第二项表示能量从体积$V$的表面积向外传输的速率.
坡印廷定理说明电磁场对体积$V$内所有电荷做的总功等于电磁场能量的减少减去从边界流出的能量.
矢量运算很神奇吧
定义
$$
S = \frac{1}{\mu_0} (E \times B)
$$
称为坡印廷矢量. 特别的$S \cdot \mathrm{d} a$表示通过无限小面元的能量, 称之为能流.$S$也可以称之为能流密度. 坡印廷定理可以写为更紧凑的形式
$$
\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t} = -\frac{\mathrm{d} U_{em}}{\mathrm{d} t} - \oint_S S \cdot \mathrm{d} a
$$
对电荷做功会增加其机械能, 使用$u_{mech}$表示机械能能量密度, 则有
$$
\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \int_V u_{mech} \mathrm{d} \tau
$$
带入可得坡印廷定理的另一种表述
$$
\frac{\partial }{\partial t} (u_{mech} + u_{em}) = - \nabla \cdot S
$$
粒子和场的总能量密度随时间的增加率, 等于电磁能量流从外部流入该点的速率. 对比电荷守恒方程, 这表明S描述了能量的流动.
需要注意的是,$S$是一个矢量, 其方向指向了能量流动的方法. 因此根据积分的选择, 可能是能量流入也可能是能量流出.$S$只代表能量流动, 并不固定表示能量的流出.
假设存在一个圆柱形导体, 其半径为a, 长度为L, 两端电势差为V, 其中的电流为I, 则有
$$
E= \frac{V}{L}
$$
$$
B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}
$$
其中E平行于导线方向, 而B环绕导线, 因此S是两者的乘积
$$
S = \frac{1}{\mu_0} \frac{V}{L} \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}
$$
方向为径向指向导体内部, 那么单位时间内通过的能量为
$$
\int S \cdot \mathrm{d} a = S \cdot 2 \pi L a = VI
$$
注意, 按照上述分析,$S$沿着导体表面指向导体内部, 因此可以认为能量是沿着表面流入的.
这是一个很有趣的视角, 导线里面的能量并不是跟随电荷进入的, 而是从导线表面进入的
补充:电场和磁场的能量
静电场的能量，本质是“把电荷从无限分散的状态聚集起来，克服库仑斥力所做的功”. 对于$N$个点电荷，系统的总静电能（相互作用能）为：
$$
W = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N q_i \varphi_i
$$
其中$\varphi_i$是除$q_i$外所有其他电荷在$q_i$位置产生的电势。系数$1/2$是为了避免重复计算每一对电荷之间的相互作用。
当电荷是连续分布时，电荷元$dq = \rho d\tau$，求和变为积分：
$$
W = \frac{1}{2} \int \rho \varphi d\tau
$$
这里$\rho$是电荷密度，$\varphi$是所有电荷（包括$dq$自身）产生的电势。
注意: 对于点电荷, 单个电荷所在位置的势能是无穷大的, 因此离散表示是必须扣除自己. 但对于连续的情况, 不存在点电荷无穷大的问题, 因此无需单独处理
静电场中，电荷密度和电场的关系是：
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \Rightarrow \rho = \varepsilon_0 \nabla \cdot \boldsymbol{E}
$$
代入能量表达式：
$$
W = \frac{1}{2} \int \varepsilon_0 (\nabla \cdot \boldsymbol{E}) \varphi d\tau
$$
利用矢量恒等式：
$$
\nabla \cdot (\varphi \boldsymbol{E}) = \varphi (\nabla \cdot \boldsymbol{E}) + \boldsymbol{E} \cdot \nabla \varphi
$$
以及静电场中$\boldsymbol{E} = -\nabla \varphi$，可以得到：
$$
\varphi (\nabla \cdot \boldsymbol{E}) = \nabla \cdot (\varphi \boldsymbol{E}) + E^2
$$
将其代入能量积分：
$$
W = \frac{\varepsilon_0}{2} \int \left[ \nabla \cdot (\varphi \boldsymbol{E}) + E^2 \right] d\tau
$$
对第一项应用高斯定理，将体积分转化为无穷远闭合面的面积分：
$$
\int \nabla \cdot (\varphi \boldsymbol{E}) d\tau = \oint \varphi \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{a}
$$
当积分区域扩展到整个空间时，无穷远处的$\varphi$和$E$都趋于0，因此这个面积分等于0。
于是我们就得到了最终的电场能量公式：
$$
W_e = \frac{\varepsilon_0}{2} \int E^2 d\tau
$$
注意: 积分范围已经扩展到全部空间, 换句话说, 电磁场的能量是分布在空间当中的. 需要对一个体积求积分才有意义.
稳恒磁场的能量本质是“建立电流分布、克服自感电动势所做的功”，也就是电源在建立磁场过程中储存的能量。
一个自感为$L$的线圈，通有电流$I$时，储存的磁能为：
$$
W = \frac{1}{2} LI^2
$$
其原理为做工等于感应电动势, 即
$$
\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t} = L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t} I
$$
简单积分即可得到以上公式
势表示
在给定麦克斯韦方程组的情况下, 如果已知$\rho(r, t)$和$J(r, t)$, 那么应该可以求解出电场和磁场的表达式. 在静态情况下, 对应的公式是库仑定律和毕奥萨伐尔定律.
对于一般的情况, 由于E的旋度不一定为零, 因此不能直接写成一个标量的梯度形式, 但对于B, 依然有
$$
B = \nabla \times A
$$
将其带入法拉第定律有
$$
\nabla \times E = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times A)
$$
交换一下微分顺序并移动可得
$$
\nabla \times (E + \frac{\partial A}{\partial t}) = 0
$$
再次得到旋度为零, 此时就可以定义
$$
E + \frac{\partial A}{\partial t} = - \nabla V
$$
则可以使用电势和矢势表达电场
$$
E = - \nabla V - \frac{\partial A}{\partial t}
$$
将这一结果带入高斯定理中有
$$
\nabla^2 V + \frac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot A) = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
$$
关于A和J可以得到类似的公式, 留给读者作为练习
达朗贝尔算子
经过一些变换操作和精心选择的A的散度, 可以得到一个非常对称的表达, 定义达朗贝尔算子为
$$
□^2 = \nabla^2 - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 }{\partial t^2}
$$
则可以得到
$$
□^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon+0}
$$
$$
□^2 A = -\mu_0 J
$$
达朗贝尔算子可以视为拉普拉斯算子的自然推广, 上面两个公式也可以视为泊松方程的四维版本.
杰斐缅柯公式
首先，我们有推迟标势和推迟矢势：
$$
V(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\boldsymbol{r}’,t_r)}{\imath} \mathrm{d}\tau’, \quad
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}’,t_r)}{\imath} \mathrm{d}\tau’
$$
其中$\imath = |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}’|$是源点到场点的距离,$t_r = t - \frac{\imath}{c}$是推迟时间
电场与势的关系是$\boldsymbol{E} = -\nabla V - \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}$
首先计算$\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}$. 推迟势中，只有分子里的$t_r$显含时间$t$，且$\frac{\partial t_r}{\partial t} = 1$，因此：
$$
\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{1}{\imath} \frac{\partial \boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}’,t_r)}{\partial t} \mathrm{d}\tau’
$$
记$\overset{\cdot}{\boldsymbol{J}} = \frac{\partial \boldsymbol{J}}{\partial t_r}$，则：
$$
\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\overset{\cdot}{\boldsymbol{J}}(\boldsymbol{r}’,t_r)}{\imath} \mathrm{d}\tau’
$$
对$V$求梯度时，$\nabla$是对场点$\boldsymbol{r}$求导，此时需要同时考虑$\imath = |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}’|$和$t_r = t - \imath/c$对$\boldsymbol{r}$的依赖。
$$
\nabla V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \nabla \left( \frac{\rho(\boldsymbol{r}’,t_r)}{\imath} \right) \mathrm{d}\tau’
$$
利用乘积求导法则：
$$
\nabla \left( \frac{\rho}{\imath} \right) = \frac{1}{\imath} \nabla \rho + \rho \nabla \left( \frac{1}{\imath} \right)
$$
因为$\rho$通过$t_r = t - \imath/c$依赖于$\boldsymbol{r}$，所以：
$$
\nabla \rho = \frac{\partial \rho}{\partial t_r} \nabla t_r = \overset{\cdot}{\rho} \nabla \left( t - \frac{\imath}{c} \right) = -\frac{\overset{\cdot}{\rho}}{c} \nabla \imath
$$
其中$\overset{\cdot}{\rho} = \frac{\partial \rho}{\partial t_r}$，且$\nabla \imath = \hat{\boldsymbol{\imath}} = \frac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}’}{\imath}$（单位矢量）。
又因为
$$
\nabla \left( \frac{1}{\imath} \right) = -\frac{1}{\imath^2} \nabla \imath = -\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\imath^2}
$$
将上面两个结果代入：
$$
\nabla V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \left[ \frac{1}{\imath} \left( -\frac{\overset{\cdot}{\rho}}{c} \hat{\boldsymbol{\imath}} \right) + \rho \left( -\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\imath^2} \right) \right] \mathrm{d}\tau’
$$
整理一下：
$$
\nabla V = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \left( \frac{\rho \hat{\boldsymbol{\imath}}}{\imath^2} + \frac{\overset{\cdot}{\rho} \hat{\boldsymbol{\imath}}}{c\imath} \right) \mathrm{d}\tau’
$$
因此：
$$
-\nabla V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \left( \frac{\rho \hat{\boldsymbol{\imath}}}{\imath^2} + \frac{\overset{\cdot}{\rho} \hat{\boldsymbol{\imath}}}{c\imath} \right) \mathrm{d}\tau’
$$
利用真空光速关系$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \Rightarrow \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$，代入上式：
$$
-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 c^2} \int \frac{\overset{\cdot}{\boldsymbol{J}}}{\imath} \mathrm{d}\tau’
$$
将两部分合并，得到：
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \left[ \frac{\rho(\boldsymbol{r}’,t_r)}{\imath^2} \hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{\overset{\cdot}{\rho}(\boldsymbol{r}’,t_r)}{c\imath} \hat{\boldsymbol{\imath}} - \frac{\overset{\cdot}{\boldsymbol{J}}(\boldsymbol{r}’,t_r)}{c^2 \imath} \right] \mathrm{d}\tau’
$$
电动力学恐怖如斯, 这还没有相对论和量子力学, 就已经如此夸张了
特别的, 当源不随时间变化时：
-$t_r = t - \imath/c$中$\rho, \boldsymbol{J}$不再依赖$t_r$，即$\overset{\cdot}{\rho} = 0, \overset{\cdot}{\boldsymbol{J}} = 0$
- 公式退化为：
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\boldsymbol{r}’)}{\imath^2} \hat{\boldsymbol{\imath}} \mathrm{d}\tau’
$$
这正是静电场的库仑定律，说明推导是自洽的。
以上为积分表达形式, 通过一些复杂冗长的推导, 可以得到E和B的微分表达, 描述运动电荷间相互作用的“终极公式”。
$$
\boldsymbol{F} = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{\imath}}{(\boldsymbol{\imath} \cdot \boldsymbol{u})^3} \left\{ \left[ (c^2 - v^2)\boldsymbol{u} + \boldsymbol{\imath} \times (\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{a}) \right] + \frac{\boldsymbol{V}}{c} \times \left[ \hat{\boldsymbol{\imath}} \times \left( (c^2 - v^2)\boldsymbol{u} + \boldsymbol{\imath} \times (\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{a}) \right) \right] \right\}
$$
- $q$：源电荷（产生场的电荷）
- $Q$：实验电荷（受力的电荷）
- $\boldsymbol{\imath}$：推迟位置矢量，从源电荷的推迟位置指向实验电荷当前位置，即 $\boldsymbol{\imath} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_q(t_r)$
- $t_r$：推迟时间，满足 $t_r = t - \frac{|\boldsymbol{\imath}|}{c}$，表示源电荷发出的场以光速传播到实验电荷所需的时间
- $\boldsymbol{v}$：源电荷 $q$ 在推迟时间的速度
- $\boldsymbol{a}$：源电荷 $q$ 在推迟时间的加速度
- $\boldsymbol{V}$：实验电荷 $Q$ 当前的速度
- $\boldsymbol{u}$：辅助矢量，定义为 $\boldsymbol{u} = c\hat{\boldsymbol{\imath}} - \boldsymbol{v}$，其中 $\hat{\boldsymbol{\imath}} = \boldsymbol{\imath}/|\boldsymbol{\imath}|$ 是推迟方向的单位矢量
- $c$：光速
- $\varepsilon_0$：真空介电常数
公式里所有源电荷的速度 $\boldsymbol{v}$、加速度 $\boldsymbol{a}$ 都是在推迟时间取值的，体现了电磁相互作用以光速传播的特点，这是相对论电动力学和牛顿力学的核心区别。
这个公式是兼容各种原来学习到的近似公式
低速极限（$v \ll c, V \ll c$）：源电荷的速度项 $v^2$ 可忽略，$\boldsymbol{u} \approx c\hat{\boldsymbol{\imath}}$，公式退化为：
$$
\boldsymbol{F} \approx \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{|\boldsymbol{\imath}|^2} + Q\boldsymbol{V} \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q}{|\boldsymbol{\imath}|^2} \boldsymbol{v} \times \hat{\boldsymbol{\imath}} \right)
$$
这就是低速下的库仑力 + 毕奥-萨伐尔定律给出的磁场力，和经典电磁学的结果完全一致。
匀速运动源电荷（$\boldsymbol{a}=0$）：辐射项消失，只剩下和速度相关的“修正库仑力”，对应匀速运动电荷的相对论电场，它不再是球对称的，而是在垂直于运动方向上被“压扁”（相对论性电场）。
这个时候可以看到明显的相对论效应, 甚至已经直接包含洛伦兹因子. 不过当时的人认为这是一种几何效果, 并没有往相对论的方向考虑.
静止源电荷（$\boldsymbol{v}=0, \boldsymbol{a}=0$）：公式退化为标准的库仑定律：$\boldsymbol{F} = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}$，完全回到静电学的结果。
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辐射
电磁波一旦产生, 将在真空中携带能力向无穷远传播.辐射的特点是从源发出不可逆的能量流, 辐射的功率定义为
$$
P = \oint S \cdot \mathrm{d}a
$$
要求这个曲面的半径取值为无穷大. 类比于通量守恒, 在辐射中, 功率的值是守恒的. 这也合理, 毕竟电磁波是动态的, 接受到多少能量和时间有关系.
S的表达式已经知道了, 因此只需要带入上一章得到的各种公式进行计算即可. 虽然大部分公式都很复杂, 但对于单个点电荷, 可以得到一个简单的公式(拉莫尔公式):
$$
P = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{6 \pi c}
$$
说明点电荷的辐射功率正比于加速度的二次方
电磁质量
虽然由于量子力学的效应, 经典的电动力学无法解释所有现象. 但其中有一些难以解释的问题即便引入量子力学后依然难以解释, 其中最典型的就是带电粒子的能量.
假设一个带电量为$q$的粒子, 其电荷全部分布在半径为$a$的球面上, 粒子处于静止状态时, 不会产生磁场, 此时单位体积能量正比于电场的平方, 即
$$
u = \frac{\epsilon_0}{2} E^2 = \frac{q^2}{32pi^2\epsilon_0 r^4}
$$
对整个空间积分可以得到总能量, 其中体积元是 $4pi^2r^2\mathrm{d}r$, 有
$$
U = \int_a^\infty \frac{q^2}{8pi\epsilon_0r^2}dr =\frac{1}{2} \frac{q^2}{4pi\epsilon_0} \frac{1}{a}
$$
如果令$e^2=q_e^2/4\pi\epsilon$, 其中$q_e$为电子的电荷, 则有
$$
U = \frac{1}{2} \frac{e^2}{a}
$$
这个公式很好, 但如果让半径趋于零, 那么就会得到能量无穷大的结果. 此外如果计算这个带电粒子的动量, 可以得到一个等效的电磁质量
$$
m = \frac{2}{3} \frac{e^2}{ac^2}
$$
实际上这与相对论计算的结果并不一致, 只有考虑到电子内部具有某种力将电子的电荷聚集到一起, 从而将这一部分能量加入计算, 才能得到一致的结果
这个时候无论如何也就不能再考虑电子的质量全部来资源电磁质量了.
最后更新： 2026年06月17日 15:34
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