新春宅家中, 电动力学理渐融, 畅学乐无穷(让AI写个俳句, 居然还真能写)
电力是一种与万有引力类似但要强一万亿亿亿亿倍的力, 但是现实世界中的物理携带的电荷又正好保持精确的相等, 使得电力处于一种完美的平衡状态.
正如高中所学到的规律, 一个电荷$q$受到的力可以用电场和磁场进行描述, 即
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left [ \frac{mv}{(1-v^2/c^2)^{1/2}} \right ] = \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + v \times \mathbf{B})
$$
电磁场满足叠加原理, 因此1个电荷受到的多个电场作用的和力实际上就是电荷在每个电场中受到的力之和.
$\nabla$算子
梯度
对于一个给定的多元函数$f(x,y)$, 有时候想知道其在特定方向上的变化率, 则可以定义其方向导数如下:
$$
\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t\cos \alpha , y_0+t\sin\alpha) - f(x_0,y_0)}{t}
$$
由全微分的定义可知
$$
f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=f_x(x_0, y_0)\Delta x+f_y(x_0, y_0)\Delta y+ o (\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} )
$$
在当前情况下有$\Delta x = t \cos \alpha$, $\Delta y = t \sin \alpha$, 因此易得
$$
\frac{\partial f}{\partial l} = f_x(x_0, y_0)\cos \alpha+f_y(x_0, y_0)\sin \alpha
$$
显然, 当$\alpha$取不同方向时, 上述方向导数具有不同的大小, 而在所有的方向导数中, 存在一个角度可使得方向导数取得最大值. 将梯度定义为
$$
\nabla f = f_x(x_0, y_0)\vec{i} +f_y(x_0, y_0)\vec{j}
$$
则显然有梯度对应的方向可获得最大的方向导数, 即梯度指向函数增长最快的方向.
$\nabla$算子
基于以上关于梯度的例子, $\nabla$算子通常可定义为
$$
\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \vec{x} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y}
$$
$\nabla$算子是一个类似于矢量并同时具有微分性质的算符, 因此与向量类似, 可以与一个标量函数作用, 或者对一个矢量函数进行点乘或者叉乘运算.
散度
将$\nabla$算子与矢量函数的点乘定义为散度, 即
$$
\nabla \vec{v} = (\frac{\partial}{\partial x} \vec{x} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{y}) \cdot (v_x \vec{x}, v_y \vec{y}, v_z \vec{z}) = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}
$$
散度衡量了向量场在某个位置的发散或聚集程度.
旋度
将$\nabla$算子与矢量函数的叉乘定义为散度, 即
$$
\nabla \times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
v_x & v_y & v_z
\end{array}\right|
$$
将上述行列式展开, 即
$$
\nabla \times \vec{v}=\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right) \vec{x}+\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right) \vec{y}+\left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right) \vec{z}
$$
旋度衡量了向量场在某个位置的旋转程度.
积规则
矢量有多种乘法规则, 对应的乘法与$\nabla$算子结合也有多种规则, 这些公式可通过展开定义进行证明.
对梯度有两个公式
$$
\nabla(fg) = f \nabla g + g \nabla f
$$
$$
\nabla(\vec{A}\cdot\vec{B}) = \vec{A} \times (\nabla \times \vec{B}) + \vec{B} \times (\nabla \times \vec{A}) + (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} + (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A}
$$
对散度有两个公式:
$$
\nabla \cdot(f \vec{A}) = f(\nabla \cdot \vec{A}) + \vec{A} \cdot (\nabla f)
$$
$$
\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times A) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})
$$
对旋度有两个公式
$$
\nabla \times (f\vec{A}) = f(\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \times (\nabla f)
$$
$$
\nabla \times (\vec{A} \times \vec{B}) = (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A} = (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} + \vec{A}(\nabla \cdot \vec{B}) - \vec{B}(\nabla \cdot \vec{A})
$$
不愧是我最爱的鬼画符环节, 还好我不用考试, 这些公式简直了.
二阶微分
通过作用2次$\nabla$算子可以得到多种结果, 梯度是一个矢量场, 可求散度和旋度, 即
梯度的散度 $\nabla \cdot (\nabla v)$: 该操作有有个单独的名称, 称为拉普拉斯算子, 可记作$\nabla^2$, 即
$$
\nabla^2 T = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}
$$
梯度的旋度 $\nabla \times (\nabla v)$: 通过展开定义可以证明, 该结果始终为0
散度是一个标量场, 仅可再求梯度, 即
散度的梯度 $\nabla (\nabla \cdot \vec{c})$: 在物理学中通常不会涉及该情况, 因此也没有单独的名称
旋度是一个矢量场, 可再求散度和旋度
旋度的散度 $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{v})$: 通过交换点乘和叉乘可以容易的证明, 该结果始终为0
旋度的旋度 $\nabla \times (\nabla \times \vec{v})$: 此操作没有产生新的东西, 通过矢量三重积的展开公式, 可以得到
$$
\nabla \times (\nabla \times \vec{v}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}
$$
通过此公式也可以反向定义拉普拉斯算子. 其优势在于此公式不局限于直角坐标系.
不得不感叹发明$\nabla$算子的人真是个天才, 这个符号居然完美的兼容了所有的矢量公式, 并且非常的对称和协调.
参考资料
麦克斯韦方程组
$$
\begin{array}{l}
\nabla \cdot \mathbf{E} =\frac{\rho}{\varepsilon _0} \
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t } \
\nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\mathbf{J} + \mu _0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t }
\end{array}
$$
电磁场的规律通过麦克斯韦方程组描述. 在理解了散度和旋度的定义后, 关于电场和磁场的性质可以写为如上非常对称的4个公式.
静电场
静电场$\mathbf{E}$并不是一个普通的矢量函数, 因为其旋度为零, 对其沿着任意闭合路径的积分都为零, 或者说其路径积分的值仅取决于起始和结束为止, 而与实际路径无关, 因此总可以定义一个函数
$$
V(\mathbf{r}) = -\int^r_O \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}
$$
V称为电势, 并且由梯度的基本定理有
$$
\mathbf{E} = -\nabla V
$$
为什么V是一个一维的数值函数, 却可以计算出一个三维的矢量函数? 因为旋度为零导致E的三个维度并非相互独立, 而需要遵守一定的对应关系
最后更新： 2026年02月05日 16:29
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