新春宅家中, 电动力学理渐融, 畅学乐无穷(让AI写个俳句, 居然还真能写)
电力是一种与万有引力类似但要强一万亿亿亿亿倍的力, 但是现实世界中的物理携带的电荷又正好保持精确的相等, 使得电力处于一种完美的平衡状态.
正如高中所学到的规律, 一个电荷$q$受到的力可以用电场和磁场进行描述, 即
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left [ \frac{mv}{(1-v^2/c^2)^{1/2}} \right ] = \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + v \times \mathbf{B})
$$
电磁场满足叠加原理, 因此1个电荷受到的多个电场作用的和力实际上就是电荷在每个电场中受到的力之和.
麦克斯韦方程组
$$
\begin{array}{l}
\nabla \cdot \mathbf{E} =\cfrac{\rho}{\varepsilon _0} \
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \
\nabla \times \mathbf{E} = -\cfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t } \
\nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\mathbf{J} + \mu _0\varepsilon_0 \cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t }
\end{array}
$$
电磁场的规律通过麦克斯韦方程组描述. 在理解了散度和旋度的定义后, 关于电场和磁场的性质可以写为如上非常对称的4个公式.
静电场
静电场$\mathbf{E}$并不是一个普通的矢量函数, 因为其旋度为零, 对其沿着任意闭合路径的积分都为零, 或者说其路径积分的值仅取决于起始和结束为止, 而与实际路径无关, 因此总可以定义一个函数
$$
V(\mathbf{r}) = -\int^r_O \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}
$$
V称为电势, 并且由梯度的基本定理有
$$
\mathbf{E} = -\nabla V
$$
为什么V是一个一维的数值函数, 却可以计算出一个三维的矢量函数? 因为旋度为零导致E的三个维度并非相互独立, 而需要遵守一定的对应关系
最后更新： 2025年05月05日 17:37
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