矢量的微积分计算

在高等数学中, 我们已经学过常规的函数的微积分操作, 但是在物理学中, 研究的许多对象都是矢量(例如速度, 加速度等). 因此为了更好的对物理学中涉及的各类对象进行微积分处理, 需要先探讨一下如何对矢量进行处理.

矢量微分的核心思路是将矢量通过坐标系转换为普通的数值函数, 通过对数字函数进行微分得到对应的结果, 再将其反向转换为矢量.

最常用的坐标系是笛卡尔坐标系, 也就是数学中常用的三个坐标轴相互垂直且满足右手系的直角坐标系.

此时, 对于空间中的任意一个矢量, 可以将其进行如下的分解

$$\vec{A} = A_x \vec{i} +A_y \vec{j} + A_z \vec{k} $$

其中任意一个分量等于A在对应轴上的投影, 例如

$$ A_x = \vec{A} \cdot \vec{i} $$

笛卡尔坐标系下的微分

因此在笛卡尔坐标系下, 如果定义位移矢量为

$$ \vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} $$

则可获得速度与加速度的表达式为

$$ \vec{v} = \dot{\vec{r}} = \dot{x}\vec{i} + \dot{y}\vec{j} + \dot{z}\vec{k} $$

$$ \vec{a} = \dot{\vec{v}} = \ddot{x}\vec{i} + \ddot{y}\vec{j} + \ddot{z}\vec{k}$$

平面极坐标系下的微分

对于平面极坐标系, 其定义了两个单位向量, 即径向$\vec{e_r}$(与位置矢量同向)与横向$\vec{e_\theta}$(垂直于位置矢量且指向极角增大的方向).

基于三角函数的知识, 可以容易得到如下的极坐标与直角坐标对应关系

$$
\begin{array}{l}
\vec{e_r} = \cos{\theta}\vec{i} + \sin{\theta}\vec{j} \
\vec{e_\theta} = -\sin{\theta}\vec{i} + \cos{\theta}\vec{j}
\end{array}
$$

此时可以对其进行微分运算, 得到如下的结果

$$
\frac{\mathrm{d}\vec{e_r}}{\mathrm{d}\theta} = -\sin{\theta}\vec{i} + \cos{\theta}\vec{j} = \vec{e_\theta}
$$

$$
\frac{\mathrm{d}\vec{e_\theta}}{\mathrm{d}\theta} = -\cos{\theta}\vec{i} - \sin{\theta}\vec{j} = -\vec{e_r}
$$

基于求导的链式法则, 可以获得两个基向量对于时间的导数

$$
\frac{\mathrm{d}\vec{e_r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{e_r}}{\mathrm{d}\theta} \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}\vec{e_\theta}
$$

$$
\frac{\mathrm{d}\vec{e_\theta}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{e_\theta}}{\mathrm{d}\theta} \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = -\dot{\theta}\vec{e_r}
$$

基于上述结论, 假定$\vec{r}=r\vec{e_r}$ 则其速度矢量为:

$$
\begin{align}
\vec{v} &= \dot{\vec{r}} = \dot{r}\vec{e_r} + r \dot{\vec{e_r}} \
&= \dot{r}\vec{e_r} + r\dot{\theta}\vec{e_\theta} \
\end{align}
$$

如果$\vec{r}$为匀速圆周运动, 则$\dot{r}=0$, $\dot{\theta}=\omega$, 则有

$$\vec{v} = \omega r \vec{e_\theta}$$

再次对其求时间的导数, 可得加速度为

$$\vec{a} = \omega r \cdot (-w\vec{e_r}) = -w^2r\vec{e_r}$$

其结果符合高中阶段对于匀速圆周运动的认识.

对一般情况下$\vec{r}$对时间的二次导数的求解过程作为习题留给同学们练习.

质点运动的两类基本情况

如果质点受到的力仅与时间相关, 即$\vec{F}(t)$, 则有

$$
\begin{align}
\vec{F} &= m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \
\vec{F}\mathrm{d}t &= \mathrm{d}\vec{v}
\end{align}
$$

也就是动量定理.


如果质点受到的力仅与位置相关, 即$\vec{F}(\vec{r})$, 则有

$$
\begin{align}
\vec{F} &= m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \
\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} &= m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = m \vec{v}\mathrm{d}\vec{v}
\end{align}
$$

也就是动能定理

势与场

在分析与万有引力相关的问题之中, 我们可以发现, 作用在一个物体上的万有引力可以表达为物体的质量$m$与一个位置相关的矢量$\vec{C}$的乘积, 即

$$
\vec{F} = m \cdot \vec{C}
$$

$\vec{C}$被称之为场. 对于势能可以进行同样的定义, 即

$$
U = - \int \vec{F} \cdot \mathrm{d}s = - m \int \vec{C} \cdot \mathrm{d}s = m \Psi
$$

其中$\Psi$称之为势函数. $\Psi$是一个三元函数, 在空间的每个坐标上都具有一个分量. 通过对$\Psi$的微分, 可以求解对应的场, 即

$$
\vec{C} = -\frac{\partial \Psi}{\partial x} \vec{i} - \frac{\partial \Psi}{\partial y} \vec{j} - \frac{\partial \Psi}{\partial z} \vec{k}
$$

上述写法较为复杂, 可使用梯度算子$\nabla$代替上述微分操作, 即

$$
\vec{C} = -\nabla \Psi
$$

同理可得, 在场中任意位置收到的力为
$$
\vec{F} = -\nabla U
$$

运动积分

运动积分是系统运动过程中的不变量, 常见的运动积分有:

动量守恒

$$
\vec{p}(\vec{v}) = m\vec{v} = \vec{C}
$$

对应的积分形式为

$$
\vec{p_2} - \vec{p_1} = \int^{t_2}_{t1} \vec{F} \mathrm{d}t
$$

因此如果$\vec{F} = 0$, 则动量守恒. 但这一约束太强, 通常无法满足, 因此可以使用分量形式, 即动量在某一个固定方向守恒.

动量矩(角动量)守恒

力矩的定义为:

$$
\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}
$$

对应的动量矩的定义为:

$$
\vec{J}(\vec{r}, \vec{v}) = \vec{r} \times m\vec{v} = \vec{C}
$$

根据牛顿第二定律有
$$
\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \times m \vec{v} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r} \times m \vec{v})
$$

$$
\vec{M} = \frac{\mathrm{d}\vec{J}}{\mathrm{d}t}
$$

类比动量的表达形式, 可以得到如果$\vec{M} = 0$, 则动量矩守恒.


在平面极坐标系中, 如果$F_\theta = 0$(即有心力), 则显然有

$$
\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = 0
$$

此时动量矩守恒, 即

$$
\vec{J} = \vec{r} \times \vec{p} = r\vec{e_r} \times m(\dot{r}\vec{e_r} + r\dot{\theta}\vec{e_\theta}) = mr^2\dot{\theta}(\vec{e_r} \times \vec{e_\theta}) = mr^2\dot{\theta}\vec{k}
$$

机械能守恒

$$
E(\vec{r}, \vec{v}) = T + V = C
$$

从开普勒三定律推导万有引力定律

根据开普勒三定律, 可以得到如下的一些结论:

开普勒第一定律: 行星轨道是一个椭圆, 即

$$
r = \frac{p}{1 + e \cos{\theta}}
$$

开普勒第二定律: 行星的掠面速率不变, 即

$$
\dot{A} = \frac{1}{2}r^2\dot{\theta} = \frac{1}{2}C_1
$$

其中C1是一个与行星相关的常数

开普勒第三定律: 半长轴的三次方与周期的平方是固定值关, 即

$$
\frac{T^2}{a^3} = C_2
$$

其中C2是一个与行星无关的尝试


基于牛顿第一定律, 行星轨道为椭圆则说明行星必然受到力的作用(否则应该保持匀速直线运动). 基于开普勒第二定律, 可分析出该力必须是有心力.

基于牛顿第二定理, 在极坐标表示下, 可得到径向力表达式为

$$
F_r = m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = -\frac{mC_1^2}{p} \frac{1}{r^2}
$$

将r使用椭圆的极坐标表示带入即可获得对应的表达式. 基于上述表达式可知, 该力是一种引力且遵循平凡反比


根据开普勒第二定律, 有

$$
T = \frac{A}{\dot{A}} = \frac{\pi ab}{1/2 C_1} = \frac{2\pi ab}{C_1}
$$

因此有

$$
\frac{T^2}{a^3} = \frac{4 \pi^2 a^2b^2}{C_1^2 a^3} = \frac{4 \pi^2 b^2}{C_1^2 a} = \frac{4 \pi^2 p}{C_1^2} = C_2
$$

则关于$F_r$的公式中有

$$
\frac{C_1^2}{p} = \frac{4\pi^2}{C_2} = C_3
$$

由于$C_2$与行星无关, 因此可知$C_3$与行星无关, 即

$$
\vec{F}(r) = - mC_3 \frac{1}{r^2} \vec{e_r}
$$

基于牛顿第三定律, 对太阳进行相同的分析可得

$$
\vec{F’}(r) = - mC_3’ \frac{1}{r^2} \vec{e_r}
$$

并且两个力大小相等, 方向相反, 联立公式可得

$$
\frac{C_3}{M} = \frac{C_3’}{m} = \cdots = G
$$

狭义相对论

牛顿认为物体的运动规律可以表述为

$$
F = \frac{\mathrm{d}(mv)}{\mathrm{d}t}
$$

并且$m$是一个不随其他参数变化的常量. 但这一假设并不正确, 在经过爱因斯坦的修正后, 质量具有如下的关系

$$
m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
$$

其中$m_0$是物体不运动是的质量, 也称为静止质量.

补充数学知识: 向量运算

给定几个向量, 则有如下的一些向量的积运算

数量积

$$
\vec{a} \cdot \vec{c} = \left | \vec{a} \right | \left | \vec{c} \right | \cos \theta
$$

矢量积

$$
\left | \vec{a} \times \vec{c} \right | = \left | \vec{a} \right | \left | \vec{c} \right | \sin \theta
$$

矢量积的方向垂直于向量$\vec{a}$和$\vec{c}$所在的平面, 且符合右手定则. 对应的坐标表示为

$$
\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
a_x&a_y&a_z\\
c_x&c_y&c_z
\end{vmatrix}
$$

基于矢量积的定义, 容易知道其满足分配率和结合律, 但不满足交换律

数量积与矢量积有一些对称性, 例如数量积为零则两个向量垂直, 矢量积为零则两个向量平行.

混合积

对于三个向量, 有如下的混合积定义:

$$
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix}
a_x&a_y&a_z\\
b_x&b_y&b_z\\
c_x&c_y&c_z
\end{vmatrix}
$$

因为先进行矢量积, 再进行数量积, 因此结果显然是一个数字

补充数学知识: 多元函数微分

全微分

如果多元函数$f(x,y)$可微, 则其全微分可表示为

$$
df=\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}y
$$

多元函数的全微分等于其各参数的偏微分之和也被称为叠加原理.

链式法则

如果函数$u=\varphi(t)$以及$v=\psi(t)$在t处可导, 函数$z=f(u,v)$在对应点(u, v)具有连续的偏导数, 则复合函数$z=f(\varphi(t), \psi(t))$在t处可导, 且有

$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}
$$

一元向量值函数

一元向量值函数是输入为一元变量, 输出为向量的函数, 可表示为

$$
\vec{f}(t) = f_1(t)\vec{i} + f_2(t)\vec{j} + f_3(t)\vec{k}
$$

由于一元向量值函数的极限和导数定义与结论与普通的一元函数一致, 因此也具有如下的一些性质:

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\varphi(t) \vec{u}(t)]=\varphi^{\prime}(t) \vec{u}(t)+\varphi(t) \vec{u}^{\prime}(t)
$$

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\vec{u}(t) \cdot \vec{v}(t)]=\vec{u}^{\prime}(t) \cdot \vec{v}(t)+\vec{u}(t) \cdot \vec{v}^{\prime}(t)
$$

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\vec{u}(t) \times \vec{v}(t)]=\vec{u}^{\prime}(t) \times \vec{v}(t)+\vec{u}(t) \times \vec{v}^{\prime}(t)
$$

方向导数与梯度

对于一个给定的多元函数$f(x,y)$, 有时候想知道其在特定方向上的变化率, 则可以定义其方向导数如下:

$$
\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t\cos \alpha , y_0+t\sin\alpha) - f(x_0,y_0)}{t}
$$

由全微分的定义可知

$$
f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=f_x(x_0, y_0)\Delta x+f_y(x_0, y_0)\Delta y+ o (\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} )
$$

在当前情况下有$\Delta x = t \cos \alpha$, $\Delta y = t \sin \alpha$, 因此易得

$$
\frac{\partial f}{\partial l} = f_x(x_0, y_0)\cos \alpha+f_y(x_0, y_0)\sin \alpha
$$

显然, 在所有的方向导数中, 存在一个角度可使得方向导数取得最大值. 将梯度定义为

$$
\nabla f = f_x(x_0, y_0)\vec{i} +f_y(x_0, y_0)\vec{j}
$$

则显然有梯度对应的方向可获得最大的方向导数, 即梯度指向函数增长最快的方向.

补充数学知识: 重积分与曲线积分

二重积分

对于一个给定的二重积分, 可通过一定的分割, 将二重积分转换为两次积分, 即

$$
\iint_D f(x,y) \mathrm{d}x =\int_{a}^{b} \left [ \int_{\varphi_1(x) }^{\varphi_2(x) } f(x,y) \mathrm{d}y \right ]\mathrm{d}x
$$

二重积分的极坐标表示

在极坐标中, 单位面积的元素可采用如下方式计算

$$ \begin{aligned} \Delta \sigma_{i} & =\frac{1}{2}\left(\rho_{i}+\Delta \rho_{i}\right)^{2} \cdot \Delta \theta_{i}-\frac{1}{2} \rho_{i}^{2} \cdot \Delta \theta_{i}=\frac{1}{2}\left(2 \rho_{i}+\Delta \rho_{i}\right) \Delta \rho_{i} \cdot \Delta \theta_{i} \\\\ & =\frac{\rho_{i}+\left(\rho_{i}+\Delta \rho_{i}\right)}{2} \cdot \Delta \rho_{i} \cdot \Delta \theta_{i}=\bar{\rho}_{i} \cdot \Delta \rho_{i} \cdot \Delta \theta_{i}, \end{aligned} $$

因此存在如下的转换关系

$$
\iint_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma = \iint_D f(\rho \cos \theta , \rho \sin\theta) \rho \mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta
$$

第一类曲线积分

设$f(x,y)$在曲线弧$L$上具有定义且连续, $L$的参数方程为$x=\varphi(t)$以及$y=\psi(t)$, 则第一类曲线积分的计算方式为

$$\int_{L} f(x,y)\mathrm{d} s = \int_{\alpha }^{\beta } f \left [ \varphi(t), \psi(t) \right ] \sqrt{ {\varphi(t)}^{\prime 2} + {\psi(t)}^{\prime 2} }\mathrm{d}t$$

第一类曲线积分相当于在已知一条曲线的线密度的情况下, 求解曲线的质量

第二类曲线积分

设$P(x, y)$和$Q(x, y)$在曲线弧$L$上具有定义且连续, $L$的参数方程为$x=\varphi(t)$以及$y=\psi(t)$, 则第二类曲线积分的计算方式为

$$ \begin{aligned} & \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y \\\\ = & \int_{\alpha}^{\beta}\left\{P[\varphi(t), \psi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t), \psi(t)] \psi^{\prime}(t)\right\} \mathrm{d} t . \end{aligned} $$

第二类曲线积分相当于求解一个力在指定路径上做的功

格林公式

设闭区域$D$由分段光滑的曲线$L$围成, 若函数$P(x, y)$和$Q(x, y)$在D上具有一阶连续偏导数, 则有

$$
\iint\limits_{D}\left ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right ) \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\oint_L P\mathrm{d}x+ Q\mathrm{d}y
$$

在物理学中通常反向利用该公式, 将一个做功的路径积分转换为二重积分

高斯公式与散度

设存在向量场

$$
\vec{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}
$$

$\Sigma$是场内一片有向曲面, $\vec{n}$是$\Sigma$在点$(x,y,z)$处的单位法向量, 则积分

$$
\iint\limits_{\Sigma}\vec{A}\cdot \vec{n}\mathrm{d}S
$$

称为向量场$\vec{A}$通过曲面$\Sigma$的通量.


高斯公式指出

$$ \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\oint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$

即某个封闭曲面的通量取决于某个函数的体积积分. 可将公式左侧的函数定义为散度, 即

$$
\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$

斯托克斯公式与旋度

设存在向量场

$$
\vec{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}
$$

$\Gamma$是$\vec{A}$的定义域内一条分段光滑的有向闭曲线, $\tau$是$\Gamma$在点$(x,y,z)$处的单位切向量, 则积分

$$
\oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot \tau \mathrm{d}s
$$

称为向量场$\vec{A}$沿着有向闭曲线$\Gamma$的环流量. 由两类曲线积分的关系, 环流量可表达为

$$
\oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot \tau \mathrm{d}s = \oint_{\Gamma}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
$$


斯托克斯公式表明:

$$ \iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y = \oint_{\Gamma}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z $$

向量场$\vec{A}$沿有向闭曲线$\Gamma$的环流量等于向量场$\vec{A}$的旋度通过曲面$\Sigma$的通量

旋度的定义为:

$$
\nabla \times \vec{A}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|
$$

将上述行列式展开, 即

$$
\nabla \times \vec{A}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \vec{k}
$$

补充数学知识:矢量分析

补充数学知识

圆锥曲线的极坐标表示

最后更新: 2024年06月19日 21:14

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