这是关于矩阵论的简要笔记. 本来在博客中输入公式并不是一件容易的事情, 但是与手写笔记比起来, 似乎还是使用键盘输入比较轻松. 考虑到以后迟早都要会LaTeX, 现在可以多练习一下.

第一章 线性空间

1.1 基与坐标

设V是数域F的线性空间, 如果V中存在有限元素集\( \{α_1, α_2, …, α_n\} \)满足

  1. \( α_1, α_2, …, α_n \)线性无关
  2. V中任意向量都可以由\( α_1, α_2, …, α_n \)线性表示

则称\( {α_1, α_2, …, α_n} \)为V的一组基, 并称空间V的维数为n, 同时对任意向量α, 必有 \( x_1, x_2, …, x_n\)满足

$$α = x_1α_1 + x_2α_2 + … + x_nα_n$$

一组向量线性相关的充要条件是这组向量的坐标构成的数值向量线性相关. 同理可以证明线性无关.

过渡矩阵

如果有两组基 \( α_1, α_2, …, α_n \) 和 \( β_1, β_2, …, β_n \), 如果有

$$
\begin{align}
β_1 &= a_{11}α_1 + a_{21}α_2 + … + a_{n1}α_n \\
β_2 &= a_{12}α_1 + a_{22}α_2 + … + a_{n2}α_n \\
… \\
β_1 &= a_{1n}α_1 + a_{21}α_2 + … + a_{nn}α_n
\end{align}
$$

$$(β_1, β_2, …, β_n) = (α_1, α_2, …, α_n)A$$

那么A称为基a到基b的过渡矩阵, 并且显然可知

$$(α_1, α_2, …, α_n) = (β_1, β_2, …, β_n)A^{-1}$$

求过渡矩阵就是分别求b在a的坐标. 然后将坐标值按照列向量组成矩阵.

坐标变换

如果某个向量γ在基α和基β的坐标分别为X和Y, 则有

$$γ = (α_1, α_2, …, α_n)X = (β_1, β_2, …, β_n)Y=(α_1, α_2, …, α_n)AY$$

因此可以获得坐标变换关系为

$$X=AY$$

即X的坐标乘以X的过渡矩阵就是Y的坐标.

只要是坐标, 就一定是列向量

1.2 子空间

设V是数域F上的向量空间, U是V的一个非空子集, 则U是V的子空间的充分必要条件是

  1. 对\(\forall α, β \in U \), 有\( α + β \in U \)
  2. 对\( \forall x \in F, α \in U\), 有 \( xα \in U \)

还要证明U是V的非空子集

子空间的基取决于子空间的结构, 子空间一般可以转化为一个线性方程组的解空间, 此时子空间的基就是基础解系.

子空间的和

设\(V_1\), \(V_2\)是线性空间V的两个子空间, 令

$$V_1 + V_2 = \{ α_1+α_2 | α_1 \in V_1, α_2 \in V_2 \}$$

则称\(V_1+V_2\)是子空间\(V_1\)和\(V_2\)的和

从两个空间中各取一个向量, 所有的组合即为和空间

维数公式

设\( W_1\)和 \( W_2\) 是线性空间的子空间, 则有

$$dim W_1 + dim W_2 = dim(W_1 \cap W_2) + dim(W_1 +W_2) $$

对于子空间和子空间的交空间, 和空间有

$$(W1 \cap W2) \subset (W1 or W2) \subset W1 + W2$$

交空间中的向量满足两个子空间各自的定义

直和

设\(V_1\), \(V_2\)是线性空间V的两个子空间, 如果\(V_1\)和\(V_2\)的交集只有零向量, 则称\(V_1+V_2\)是子空间\(V_1\)和\(V_2\)的直和.

\(V_1+V_2\)是直和, 当且仅当对\( \forall α \in (V_1+V_2)\), 只有唯一的\(α_1\)和\(α_2\), 使得\( α_1 \in V1, α_2 \in V2, α=α_1+α_2 \)

V1和V2是V的子空间, 则以下命题等价

  1. V1和V2的和是直和
  2. 向量分解唯一
  3. 零向量分解唯一
  4. \(dim(V_1+V_2) = dim V_1 + dim V_2\)

线性空间的同构

设V和W是线性空间, 若存在双射σ: V->W, 满足

  1. σ(α+β) = σ(α) + σ(β)
  2. σ(kα) = kσ(α)

则称线性空间V和W是同构的

1.3 线性变换

证明是线性变化需要证明三点

  1. 是V到V的映射
  2. T(α+β) = T(α) + T(β)
  3. T(kα) = kT(α)

线性变换是V到V的映射, 而同构是任意两个线性空间的映射

核与像

$$
\begin{align}
Ker(T) &= \{ α \in V | T(α)=0 \} \\
Im(T) &= \{ T(α) | α \in V \}
\end{align}
$$

\(Im(T) = Span\{T(α_1), T(α_2), …, T(α_n)\}\)

线性变换矩阵

设T是V上的线性变换, \(α_1, α_2, …, α_n\)是V的一组基. 类比基变换的过程, 可以得到线性变换的矩阵

$$T(α_1, α_2, …, α_n) = (α_1, α_2, …, α_n)A$$

A的构成与基变换相同, 求出每个\(T(α_i)\)在α的坐标, 按列排成矩阵即为矩阵A.

同一个线性变换在不同基下的矩阵相似, 且矩阵P为两组基之间的过渡矩阵

设α和β是空间V的两组基, 且α到β的过渡矩阵为P. 线性变换T在α和β的变换矩阵为A和B, 则 \( B=P^{-1}AP\)

第二章 内积与实内积空间

2.1 内积与欧式空间

  1. (α, β) = (β, α)
  2. (λα, β) = λ(α, β)
  3. (α+β, γ) = (α, γ) + (β, γ)
  4. (α, α) >= 0, 当且仅当 α = 0时等号成立

柯西-施瓦兹不等式

$$\left| (α, β) \right| <= \left\| α \right\| \left\| β \right\|$$

注意: 不等式的左侧是绝对值符号, 不等式的右侧是向量长度符号. 欧式空间的长度的定义为

$$\left\| α \right\| = \sqrt{(α,α)}$$

即先与自己做向量内积, 然后开根号.

向量正交化

$$
\begin{matrix}
β_1 = &α_1 & & &, γ_1 = \frac{β_1}{\left \| β_1 \right \| } \\
β_2 = &α_2 &-(α_2,γ_1)γ_1 & &, γ_2 = \frac{β_2}{\left \| β_2 \right \| } \\
β_3 = &α_3 &-(α_3,γ_1)γ_1 &-(α_3,γ_2)γ_2 &, γ_3 = \frac{β_3}{\left \| β_3 \right \| }
\end{matrix}
$$

对单位向量的内积等价于在单位向量上的投影. 对于\( β_3 \)的求解过程, \( (α_2,γ_1) \)相当于\( α_2 \)在\( γ_1 \)方向上投影的长度.

投影长度乘以这个方向的单位向量, 就等于\( α_2 \)在\( γ_1 \)方向上投影的向量, 那么\( α_2 \)减去这个向量, 剩下的就是\( α_2 \)相对于\( γ_1 \)方向正交的分量. \( β_3 \)的求解过程可以按照同样的方式理解.

向量的傅里叶展开

设向量组\( ε_1, ε_2, …, ε_n\)是欧式空间V的一组标准正交基, 则对任意向量\( α \in V\), 有

$$α=(α,ε_1)ε_1 + (α,ε_2)ε_2 + … +(α,ε_n)ε_n$$

如果\( ε_1, ε_2, …, ε_n\)是子空间V的一组基, 则上式为α在子空间V上的投影

正交补

设W是欧式空间V的子集, 称

$$W^\perp = \{ α \in V | α \perp W\}$$

为W的正交补. 容易证明,\( W^\perp \)是子空间.

\(W\)和\( W^\perp \)的直和是整个欧式空间V.

如果需要求解给定空间W的正交补, 可以先求出W的基向量, 则\( W^\perp \)的基向量与W的基向量正交. 从而获得\( W^\perp \)的基向量的表达式.

最小二乘解

设\(A = (α_1, α_2, …, α_n)\), y=Ax, 求解x使得b与y的偏差最小. 则有

$$A^TAx=A^Tb$$

2.2 正交变换

设T是欧式空间V上的线性变换, 若满足

$$(Tα, Tβ) = (α, β)$$

则称T是V上的正交变换.

正交变换对应了空间的旋转和镜像

2.3 复内积空间

复数域上的内积与实数域上的内积定义基本相同, 但交换律有所变换, 具体为

$$(α, β) = \overline{(α, β)}$$

由此定义的内积的坐标表达式为

$$(α, β) = x_1\overline{y_1} + x_2\overline{y_2} + … + x_n\overline{y_n}$$

满足此内积定义的空间称为酉空间.

酉空间中的正交变换称为酉变换, 酉空间的正交矩阵称为正规矩阵(酉矩阵)

第三章 矩阵的标准型

3.1 Jordan标准型

设A为矩阵, 则 \( \lambda E - A \) 是A的特征矩阵, 记为 A(λ). 依次求解行列式因子, 不变因子, 初级因子.

后一个不变因子整除前一个不变因子


可逆矩阵P的求解

若已知矩阵A和相应的Jordan标准型J为

$$
\left(A = \left[\begin{matrix}-1 & -2 & 6\\-1 & 0 & 3\\-1 & -1 & 4\end{matrix}\right], \ J = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\right)
$$

设可逆矩阵\( P = (p_1, p_2, p_3)\), 则有AP=PJ. 带入可得
$$
\begin{align}
Ap_1 &= p_1 \\
Ap_2 &= p_2 \\
Ap_3 &= p_2 + p_3
\end{align}
$$

对于第一个和第二个等式, 相当于求解 (E-A)x=0 的解. \( p_1 \)可以任意取值, 但 \( p_2 \)还要保证第三个等式有解. 第三个等式相等于求解\( (E-A)x = -p2 \). 因此求解步骤如下

  1. 求(E-A)x=0 的解, 得到通解 \( ξ_1 = (-1,1,0)^T, ξ_2 = (3,0,1)^T \). 取 \( p_1 = ξ_1 \)
  2. 设\( p_2 = c_1ξ_1 + c_2ξ_2\), 带入\( (E-A)x = -p2 \).
  3. 要使等式三有解, 因此\( (E-A)x = -p2 \)的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相同, 可得\( c_1=c_2 \), 取\( c_1=c_2=1 \), 得到\( p_2 = (2,1,1)^T\)
  4. \( p_3 \)为等式\( (E-A)x = -p2 \)解. 其中的自由未知量可以全部取0, 可得\( p_3 = (-1,0,0)\)

基础解系的求解方法

  1. 写出方程的矩阵表达
  2. 行化简为最简
  3. 对于所有的自由变量, 例如\( x_1, x_2, x_n\), 分别取值(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
  4. 带入化简后的方程, 求出其余的非自由未知量

3.2 Smith标准型

λ-矩阵A(λ), B(λ)满足

$$A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E$$

则称A(λ)是可逆的, 且称B(λ)为A(λ)的逆矩阵. A(λ)可逆的充要条件是\( \left| A(λ) \right| \)是非零常数.

A(λ)的λ取任何值时, 矩阵A都可逆, A(λ)才可逆


λ-矩阵有三种类似的初等变换, 分别是

  1. 交换两行(列)
  2. 第i行(列)乘以非零常数k
  3. 第i行(列)加上第j行(列)的φ(λ)倍. 其中φ(λ)为λ的多项式

如果λ-矩阵A(λ)经过若干次初等变换变为B(λ), 则称A(λ)与B(λ)等价. 等价的λ-矩阵的秩相等

3.3 Cayley-Hamilton定理

设A为n阶方阵, \(f(λ) = \left| λE - A \right|\), 则\(f(A) = O\).

首先按照行列式的定义展开, 然后将λ替换为A. 常数项要乘以单位矩阵E

零化多项式

设A为n阶方阵, 若多项式

$$φ(λ) = a_kλ^k + … + a_1λ + a_0$$

满足

$$φ(A) = a_kA^k + … + a_1A + a_0E$$

则称φ(λ)是矩阵A的零化多项式.

最小多项式

矩阵A的最小多项式\( m_A(λ)\)和特征多项式\(f(λ) = \left| λE - A \right|\)具有相同的根(但重数不同).

若特征多项式为\( (λ-λ_0)^2(λ-λ_1) \). 则依次尝试计算 \((A-λ_0E)(A-λ_1E)\)和\((A-λ_0E)^2(A-λ_1E)\). 乘积为0的次数最低的表达式即为最小多项式.

最小多项式\( m_A(λ)\)是A的特征矩阵\( λE-A \)的第n个不变因子

对于一个给定的三阶矩阵, 首先求出特征多项式, 由于给定的矩阵不可对角化, 必定存在次数大于1的根. 因此只需要根据情况进行一次计算就可以求出最小多项式. 由上面的定理, 最小多项式是最大的不变因子.

第四章 矩阵分解

4.1 LU分解

设A为矩阵, 则A可以分解为下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积, 且L的对角线元素为1. 设需要分解的矩阵为A

  1. 对(A,E)执行行化简操作, 变为(U,P)
  2. 对(P,E)执行行变换操作, 变为(E,L)
  3. A = LU, 且L对角线元素均为1

执行第一步时, 只能将上一行的倍数加到下一行, 从而保证最后的结果是一个上三角矩阵

LU分解可以通过Python代码实现, 例如

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from sympy import *
M = Matrix([[1,2,3], [2,5,1], [3,2,5]])
L,U,_ = M.LUdecomposition()

计算结果为

$$\left (L = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\3 & -4 & 1\end{matrix}\right], \quad U = \left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\0 & 1 & -5\\0 & 0 & -24\end{matrix}\right]\right )$$

4.2 QR分解

设A是m行n列的矩阵, 且Rank A = n (A的列向量线性无关). 可以将A的列向量表示为一组单位正交向量的形式, 这就是QR分解.

令 \(A=(α_1, α_2, …, α_n)\), 对三个向量进行正交化处理, 其中

$$
(γ_1, γ_2, …, γ_n)
\begin{bmatrix}
\left \| β_1 \right \| & (α_2,γ_1) & \cdots & (α_n,γ_1) \\
& \left \| β_2 \right \| & \cdots & (α_n,γ_2) \\
& & \ddots & \vdots \\
& & & \left \| β_n \right \|
\end{bmatrix}
$$

QR分解同样可以通过Python代码实现, 例如

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import numpy as np
from sympy import *

# 基于符号计算的QR分解
raw = [[1,2,2], [1,0,2], [0,1,1]]
M = Matrix(raw)
Q1,R1 = M.QRdecomposition()

# 基于数值计算的QR分解
M = np.array(raw)
Q2,R2 = np.linalg.qr(M)

计算结果分别如下

$$\left ( Q1 = \left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6}\\0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{3}\end{matrix}\right], \quad R1 = \left[\begin{matrix}\sqrt{2} & \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\\0 & \sqrt{3} & \frac{\sqrt{3}}{3}\\0 & 0 & \frac{\sqrt{6}}{3}\end{matrix}\right]\right )$$

$$Q2 =\left[\begin{matrix}-0.707106781186547 & 0.577350269189626 & -0.408248290463863\\-0.707106781186547 & -0.577350269189626 & 0.408248290463863\\0.0 & 0.577350269189626 & 0.816496580927726\end{matrix}\right]$$

$$R2 = \left[\begin{matrix}-1.4142135623731 & -1.41421356237309 & -2.82842712474619\\0.0 & 1.73205080756888 & 0.577350269189626\\0.0 & 0.0 & 0.816496580927726\end{matrix}\right]$$

4.3 满秩分解

设A是m行n列的复矩阵, rank A = r > 0, 则必然存在秩为r的两个矩阵 \( P_1 \in C^{m \times r} \), \( Q_1 \in C^{r \times n} \), 使得\( A = P_1 Q_1\).

这里A显然不是必须满秩的, 因此满秩可能指的是P和Q都是满秩矩阵. 满秩分解首先对A行变换, 变成行阶梯形矩阵H.

由于行变换不改变列向量的线性关系, 因此满秩分解实际上是说明矩阵A的列向量可以使用其中的一组线性无关的向量表示. 例如下面的矩阵A进行行变换后结果如下

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 7\\
1 & 0 & 6 & 5\\
0 & 2 & 6 & -4
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 6 & 5\\
0 & 1 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$

这说明A的列向量\( α_3 \) = 6\( α_1 \) + 3\( α_2 \). 因此取出\( α_1 \)和\( α_2 \)作为矩阵B, 取出行阶梯形矩阵的前两行组成矩阵C, 则A = BC, 即

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 7\\
1 & 0 & 6 & 5\\
0 & 2 & 6 & -4
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 6 & 5\\
0 & 1 & 3 & -2
\end{pmatrix}$$

行阶梯形要求枢纽元素值为1

4.4 奇异值分解

设矩阵\(A \in C^{m \times n} \), rankA=r, 则存在酉矩阵\(U \in C^{m \times m} \), \(V \in C^{n \times n} \), 使得

$$A=U \Sigma V^H$$

其中\(\Sigma\)对角线为矩阵A的奇异值, 其余元素为零.


奇异值分解按照如下的步骤完成

  1. 求解\( A^HA\) 的特征值与特征向量, 其中所有正特征值的平方根即为矩阵A的奇异值.
  2. 将特征向量矩阵单位正交化, 构成矩阵V, 并且将其中正特征值对应的向量记为矩阵V1
  3. \( U_1 = AV_1D^{-1}\), 选取矩阵U2, 使得U=(U1,U2)为标准正交矩阵

关于奇异值的更多内容, 可以参考

4.5 广义逆矩阵

设矩阵\(A \in C^{m \times n} \), \(X \in C^{n \times m} \), 使得

  1. \(AXA = A\)
  2. \(XAX = X\)
  3. \((AX)^H = AX\)
  4. \((XA)^H = XA\)

则称矩阵X为矩阵A的Moore-Penrose逆, 记为\( A^+ \). 易得

$$X=C^H(CC^H)^{-1}(B^HB)^{-1}B^H$$

其中B和C是矩阵A满秩分解后的结果. 如果矩阵A是列满秩, 则显然有\(A=AE\), 从而有

$$A^+=(A^HA)^{-1}A^H$$

4.6 最小二乘解

设Ax=b是不相容线性方程组, 则此方程组的最小二乘解为

$$x=A^+b+(E-A^+A)C$$

其中C为任意的列向量. 相应的极小范数最小二乘解为

$$x_0=A^+b$$

第五章 范数理论

5.1 向量范数

任意向量范数都需要满足以下的三个条件

  1. 正定性. 当 \( α \neq 0\)时, \( \left\| α \right\| > 0 \)
  2. 齐次性. \( \left\| kα \right\| = \left| k \right| \left\| α \right\| \)
  3. 三角不等式. \( \left\| α + β \right\| \leq \left\| α \right\| + \left\| β \right\|\)

所有关于是否是范数的证明都等价于证明上面的三个条件


常见的向量范数有: 1范数, 2范数, \( \infty \)范数, 以及p范数. 其中p范数要求 \( 1 \leq p < +\infty \). 由于范数的范围不再针对实数, 因此在计算之前, 所有的数都需要先取模.

5.2 矩阵范数

任意矩阵范数都需要满足四个条件, 前面三个与向量范数类似

  1. 正定性. 当 \( A \neq 0\)时, \( \left\| A \right\| > 0 \)
  2. 齐次性. \( \left\| kA \right\| = \left| k \right| \left\| A \right\| \)
  3. 三角不等式. \( \left\| A + B \right\| \leq \left\| A \right\| + \left\| B \right\|\)
  4. 相容性. \( \left\| AB \right\| \leq \left\| A \right\| \left\| B \right\|\)

常见的矩阵范数有如下两类

  1. \( m_1 \)范数, \( m_2 \)范数(F范数), \( m_\infty \)范数
  2. 1范数, \( m_\infty \)范数, 2范数

\( m_1 \)范数和\( m_2 \)范数的定义与向量范数相似, \( m_\infty \)范数为矩阵中最大元素与矩阵阶数的乘积, 只有方阵具有\( m_\infty \)范数.

\( m_\infty \)范数为矩阵中最大元素与矩阵阶数的乘积

1范数为列模和最大者, \( m_\infty \)范数为行模和最大者, 2范数为矩阵\( A^HA \)的最大特征值的平方根.

这一类的范数先求每一行或者列的和, 然后取最大值

第六章 矩阵分析及其应用

6.1 矩阵序列与矩阵级数

矩阵序列的极限等于矩阵中各元素的极限构成的矩阵.


设A为矩阵, \(λ_1, λ_2, …, λ_n \) 为A的特征值, 则称

$$ρ(A) = max|λ_i|$$

为A的谱半径. 矩阵A为收敛矩阵的充要条件为 \( ρ(A) \leq 1\)


设A为矩阵, \( \left\| A \right\| > 0 \)为A的任意一种范数, 则

$$ρ(A) \leq \left\| A \right\|$$

由此可以得到一个推论. \( \left\| A \right\| > 0 \)为A的任意一种范数, 若

$$\left\| A \right\| < 1$$

则A为收敛矩阵.

使用此推论时, 优先计算\( m_\infty \)范数, \( m_1 \)范数, 行范数和列范数.


设A为矩阵, c为复数, 则

$$\sum_{k=0}^{\infty} c_kA^k = c_0E + c_1A + c_2A^2 + … + c_kA^k + …$$

矩阵幂级数.

常数项需要乘单位矩阵. 表达式中所有k次方的常数都应该视为矩阵的一部分.

设幂级数 \( \sum_{k=0}^{\infty} c_kz^k\)的收敛半径为R, 则

  1. 当 \( ρ(A) < R\)时, 矩阵幂级数绝对收敛
  2. 当 \( ρ(A) > R\)时, 矩阵幂级数发散

其中 幂级数\( \sum_{k=0}^{\infty} c_kz^k\)的收敛半径为

$$ R = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_k}{c_{k+1}} \right|$$

收敛半径是系数的比值


设A为矩阵, 则A的幂级数

$$\sum_{k=0}^{\infty} A^k = E + A + A^2 + … + A^k + …$$

称为Neumann级数. 且此级数的的收敛条件为 \( ρ(A) < 1 \). 当此级数收敛时, 级数和为 \( (E-A)^{-1} \).

6.2 矩阵函数的计算

6.2.1 Jordan标准型法

$$
f(A) = P \begin{bmatrix}
f(J_1) & & \\
& \ddots & \\
& & f(J_s)
\end{bmatrix}P^{-1}
$$

其中

$$
f(J_i) = \begin{bmatrix}
f(λ_i) & f’(λ_i) & \frac{1}{2!} f’’(λ_1) & \cdots & \frac{1}{(r-1)!} f^{(r-1)}(λ_i)\\
& \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
& & \ddots & \ddots & \frac{1}{2!} f’’(λ_i)\\
& & & \ddots & f’(λ_i) \\
& & & & f(λ_i)
\end{bmatrix}
$$

6.2.2 最小多项式法

设A为矩阵, \(λ_1, λ_2, …, λ_n \) 为A的特征值, 最小多项式为 \( m_A(λ) \). 设r(λ)是次数比\( m_A(λ) \)低一次的多项式. 则有

$$f(λ_i) = r(λ_i)$$

如果\( λ_i \)为2次, 则还有

$$f’(λ_i) = r’(λ_i)$$

根据上面的方程组, 即可解出r(λ)的系数. 同时有

$$f(A) = r(A)$$

注意: 常数项需要乘单位矩阵

6.3 函数矩阵微积分

函数矩阵的微分和积分是各元素的微分和积分. 函数矩阵的和与乘积的微分也与函数的微分形式相同, 对于函数矩阵的逆矩阵有

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(A^{-1} (t))=-A^{-1}(t)(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}A(t))A^{-1}(t)$$


一阶常系数线性齐次微分方程组

$$
\begin{cases}
\dot{x}(t) &=Ax(t) \
x(t_0) &=c &
\end{cases}
$$

的解为

$$x(t) = e^{A(t-t_0)}x(t_0)$$

最后更新: 2024年03月28日 23:43

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