复变函数笔记

复数的基本概念

设复数$z=x+iy$, 则复数的模为
$$|z| = |\vec{OP}|=\sqrt{x^2+y^2}$$

复数的幅角为
$$Arg z = \theta + 2k\pi$$
其中, $ \theta $为Ox轴到复数对应的向量$\vec{OP}$沿逆时针方向所形成的角, 因此复数的幅角有无穷多个. 当z=0时, 则没有幅角.

如果将幅角限定在$ 0 < arg z < 2\pi $, 或者 $ -\pi < arg z < \pi $, 则此部分称为复数的主值. 此时幅角也可以表示为

$$Arg z = arg z + 2k\pi$$

如果
$$z=|z|(cos\theta+isin\theta)$$

则有

$$z^n=|z|^n(cos n\theta+isin n\theta)$$

特别在z的模为1时, 有
$$(cos\theta+isin\theta)^n=cos n\theta+isin n\theta$$

这也被称为棣莫弗公式. 对于复数的方根, 有

$$w=\sqrt[n]{|z|}(cos \frac{arg z+2k\pi}{n}+isin \frac{arg z+2k\pi}{n} )$$

复数的乘法可以认为是模相乘,幅角相加. 而复数的除法相反, 是模相除, 幅角相减.

任意的一个复数开n次方后, 都有n个根. 虽然从表达式看, 由于幅角有无穷多个, 因此根也有无穷多个. 但实际上只有n个不相同的幅角, 其他的幅角都只是与这n个幅角中的某个幅角相差$2k\pi$. 例如$\sqrt[4]{(1+i)}$可以表示为如下的四个根

$$\sqrt[4]{(1+i)}=w_0,iw_0,-w_0,-iw_0$$

最后更新： 2024年04月24日 15:50